随手记一点：图形学

# 模型、世界、观察、裁剪空间的坐标转换

在 3D 图形编程中，模型、世界、观察和裁剪空间的坐标转换，是将 3D 对象从其原始位置转换到最终可以在屏幕上渲染的 2D 图像的关键步骤。

这些转换通常在图形渲染管线的顶点着色器阶段进行。

下面是每个空间的简要说明和它们之间的转换：

• 模型空间（Model Space）：

  • 模型空间是 3D 对象的本地坐标系统。

  • 模型空间中的坐标用于定义对象的几何形状。

• 世界空间（World Space）：

  • 世界空间是整个场景的坐标系统。

  • 在这个空间中，所有对象的位置都是相对于场景原点的。

  • 模型空间中的坐标通过模型矩阵（Model Matrix）转换到世界空间。

  • 转换公式为：$\text{World Position}=\text{Model Matrix}\times \text{Model Position}$

• 观察空间（View Space）/ 相机空间（Camera Space）：

  • 观察空间是从相机的视角定义的坐标系统。

  • 在这个空间中，相机位于原点，并且面向负 Z 轴。

  • 世界空间中的坐标通过视图矩阵（View Matrix）转换到观察空间。

  • 转换公式为：$\text{View Position}=\text{View Matrix}\times \text{World Position}$

• 裁剪空间（Clip Space）：

  • 裁剪空间是用于透视除法和裁剪测试的坐标系统。

  • 在这个空间中，坐标被标准化，使得深度值的范围在 -1 到 1 之间。

  • 观察空间中的坐标通过投影矩阵（Projection Matrix）转换到裁剪空间。

  • 转换公式为：$\text{Clip Position}=\text{Projection Matrix}\times \text{View Position}$

• 规范化设备坐标（Normalized Device Coordinates | NDC）：

  • 裁剪空间的坐标经过透视除法后，会转换到规范化设备坐标。

  • 在这个空间中，坐标的范围是 x 和y 在 -1 到 1 之间，z 在 0 到 1 之间。

• 屏幕空间（Screen Space）：

  • 最后，NDC 中的坐标通过视口变换矩阵（Viewport Transformation）转换到屏幕空间。

  • 这个空间中的坐标对应于最终显示在屏幕上的像素坐标。

  • 转换公式为：$\text{Screen Position}=\text{Viewport Matrix}\times \text{NDC Position}$

这些转换涉及到矩阵乘法，其中模型矩阵、视图矩阵和投影矩阵是最重要的三个矩阵，它们共同定义了场景的变换。

开发者可以通过修改这些矩阵来改变场景的视觉效果，例如实现相机移动、对象旋转和视角变换等。

# 模型空间

是指一个物体在其自身坐标系中的表示。

每个三维模型都有一个独立的坐标系，这个坐标系定义了模型在其自身空间中的位置、方向和大小。

假设有一个立方体模型，其顶点坐标在模型空间中可能是 (-1, -1, -1) 到 (1, 1, 1)，这些坐标是相对于立方体自身的中心点（原点）的。

当你将这个立方体放置到场景中时，你需要将其从模型空间转换到世界空间，这通常涉及平移、旋转和缩放操作。

# 世界空间

是指整个场景或世界的全局坐标系。

世界空间是一个全局坐标系，所有物体的位置、方向和大小都是相对于一个统一的参考点（通常是场景的原点）来定义的。

世界空间用于管理和组织整个场景中的所有物体。通过在世界空间中定义物体的位置和方向，可以方便地进行场景的渲染、碰撞检测、物理模拟等操作。

假设有两个立方体模型，每个立方体在模型空间中的顶点坐标都是 (-1, -1, -1) 到 (1, 1, 1)。当你将这两个立方体放置到世界空间中时，你可以通过平移操作将第一个立方体放置在 (0, 0, 0)，将第二个立方体放置在 (5, 0, 0)。这样，在世界空间中，第一个立方体的顶点坐标将是 (-1, -1, -1) 到 (1, 1, 1)，而第二个立方体的顶点坐标将是 (4, -1, -1) 到 (6, 1, 1)。

# 模型空间转世界空间的例子

假设有两个模型：

• 模型 A 在其模型空间中，1 个单位长度表示 1 厘米。

• 模型 B 在其模型空间中，1 个单位长度表示 1 毫米。

我们希望在世界空间中，1 个单位长度表示 1 米。

缩放模型 A：

• 模型 A 的单位长度是 1 厘米，即 0.01 米。

• 创建一个缩放矩阵，将模型 A 的所有顶点坐标按 100 倍缩放。

缩放模型 B：

• 模型 B 的单位长度是 1 毫米，即 0.001 米。

• 创建一个缩放矩阵，将模型 B 的所有顶点坐标按 1000 倍缩放。

应用模型变换：

• 对缩放后的模型 A 和模型 B，分别应用平移和旋转矩阵，将它们转换到世界空间中的目标位置和方向。

通过上述步骤，模型 A 和模型 B 在世界空间中的单位长度将统一为 1 米，从而保持一致的比例。

# 观察空间

是指从摄像机或观察者的视角来看待场景的坐标系。

在这个空间中，摄像机位于原点，观察方向沿着 Z 轴的负方向，摄像机的上方向沿着 Y 轴正方向。

观察空间是一个局部坐标系，所有物体的位置和方向都是相对于摄像机的位置和方向来定义的。

物体从世界空间转换到观察空间通常涉及一个视图变换。这个变换将物体从世界坐标系转换到摄像机的局部坐标系。

在观察空间中，通常会进行裁剪操作，以去除摄像机视野范围之外的物体。裁剪操作通常在观察空间中进行，因为在这个空间中，摄像机的视野范围可以很容易地用一个视锥体来表示。

摄像机的视锥体在观察空间中定义，它决定了哪些对象会被渲染到视图中。视锥体包括近裁剪面和远裁剪面，以及摄像机的视场角。

假设有一个立方体在世界空间中的位置是 (5, 0, 0)，并且摄像机位于 (0, 0, 5)，观察方向沿着 Z 轴的负方向。通过视图变换，你可以将立方体从世界空间转换到观察空间。在这个过程中，立方体的位置会相对于摄像机的位置和方向进行调整。

作用：

• 裁剪和优化：在观察空间中，可以进行视锥体裁剪，这是一种优化技术，用于剔除那些不在摄像机视锥体内的对象，从而提高渲染效率。

• 光照和阴影计算：在观察空间中，可以计算相对于摄像机的光照和阴影效果，这对于动态光源和阴影的计算尤为重要。

• 透视投影：在观察空间中，可以应用透视投影，将 3D 坐标转换为 2D 屏幕坐标，这种投影考虑了透视效果，即远处的物体看起来比近处的物体小。

• 深度缓冲：在观察空间中，可以计算每个像素的深度值，这有助于确定对象的前后顺序，以及处理遮挡关系。

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# 仿射空间

仿射空间是向量空间（也叫线性空间）的扩展。

仿射空间是一个没有固定原点的向量空间，但保留了向量加法和数乘运算的结构。

点与向量：

在仿射空间中，点和向量是两个基本概念。

点表示位置，向量表示方向和大小。

每个向量的起点都是原点。

运算：

• 点与向量的加法：给定一个点 $P$ 和一个向量 $\mathbf{v}$，它们的和 $P+\mathbf{v}$ 是一个新的点 $Q$，表示从点 $P$ 沿着向量 $\mathbf{v}$ 的方向移动得到的点。

• 向量的加法：给定向量 ${\mathbf{v}}_1$ 和 ${\mathbf{v}}_2$，它们的和 ${\mathbf{v}}_1+{\mathbf{v}}_2$ 是一个新的向量，表示两个向量的合成方向。

• 向量的数乘：给定向量 $\mathbf{v}$ 和标量 $k$，它们的积 $k\mathbf{v}$ 是一个新的向量，表示向量 $\mathbf{v}$ 按比例 $k$ 缩放后的结果。

仿射组合：

在仿射空间中，一个点的位置可以通过一组基点的仿射组合来表示。

仿射组合是指一组点的线性组合，其系数之和为 1。

给定一组点 $P_1,P_2,\dots ,P_n$ 和一组标量 $a_1,a_2,\dots ,a_n$，其中 $a_1+a_2+\cdots +a_n=1$，仿射组合表示为：

$$P=a_1{P}_1+a_2{P}_2+\cdots +a_n{P}_n$$

这个组合表示一个新的点 $P$，它是基点 $P_1,P_2,\dots ,P_n$ 的线性组合。

仿射变换：

仿射变换是一种保持仿射空间中线性组合关系的变换。

常见的仿射变换包括平移、缩放、旋转和剪切。

仿射空间的特点：

• 与向量空间不同，仿射空间没有固定的原点。基点的选择是任意的，只要它们线性无关即可。

• 仿射空间不涉及距离或角度的概念。它只关注点的线性关系。

# 仿射变换

仿射变换是一种保持仿射空间中线性组合关系的变换。

仿射变换可以表示为线性变换和平移的组合。

线性变换：

线性变换是一种保持向量加法和数乘运算的变换。在二维空间中，线性变换可以表示为一个矩阵乘法：

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$

其中 $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ 是变换矩阵。

平移：

平移是将所有点沿着某个方向移动固定距离的变换。在二维空间中，平移可以表示为：

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{t}_x\\ t_y\end{array}\right)$

其中 $\left(\begin{array}{c}{t}_x\\ t_y\end{array}\right)$ 是平移向量。

仿射变换的表示：

仿射变换可以表示为线性变换和平移的组合。在二维空间中，仿射变换可以表示为：

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{t}_x\\ t_y\end{array}\right)$

其中 $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ 是线性变换矩阵，$\left(\begin{array}{c}{t}_x\\ t_y\end{array}\right)$ 是平移向量。

还可以表示为：

$\mathbf{y}=A\mathbf{x}+\mathbf{b}$

• $A$ 是一个线性变换矩阵。

• $\mathbf{x}$ 是原始向量。

• $\mathbf{b}$ 是一个平移向量。

• $\mathbf{y}$ 是变换后的向量。

常见的仿射变换之平移：

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{t}_x\\ t_y\end{array}\right)$

常见的仿射变换之缩放：

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{s}_x& 0\\ 0& s_y\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$

其中 $s_x$ 和 $s_y$ 是缩放因子。

常见的仿射变换之旋转：

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$

其中 $\theta$ 是旋转角度。

常见的仿射变换之剪切：

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& k_x\\ k_y& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$

其中 $k_x$ 和 $k_y$ 是剪切因子。

# 仿射变换中的平移如何转换为线性变换？

在仿射变换中，平移是一种非线性变换，因为它不能通过简单的矩阵乘法来表示。

然而，通过引入齐次坐标，我们可以将平移转换为线性变换，从而使得仿射变换可以用单一的矩阵乘法来表示。

齐次坐标：

齐次坐标是一种在多维空间中表示点和向量的方法，通过增加一个额外的维度来实现。

在二维空间中，一个点的齐次坐标表示为 $(x,y,w)$，其中 $w$ 是齐次坐标中的权重因子。

通常情况下，我们使用 $w=1$ 来表示二维空间中的点。

将平移转换为线性变换：

在二维空间中，平移变换可以表示为：

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{t}_x\\ t_y\end{array}\right)$

其中 $\left(\begin{array}{c}{t}_x\\ t_y\end{array}\right)$ 是平移向量。

为了将平移转换为线性变换，我们引入齐次坐标，将二维点 $(x,y)$ 表示为齐次坐标 $(x,y,1)$。然后，平移变换可以表示为一个矩阵乘法：

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& t_x\\ 0& 1& t_y\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right)$

仿射变换的齐次坐标表示：

通过引入齐次坐标，我们可以将仿射变换（包括线性变换和平移）表示为一个单一的矩阵乘法。在二维空间中，仿射变换可以表示为：

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}a& b& t_x\\ c& d& t_y\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right)$

其中 $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ 是线性变换矩阵，$\left(\begin{array}{c}{t}_x\\ t_y\end{array}\right)$ 是平移向量。

示例：

假设我们有一个点 $P(x,y)$，我们希望对其进行平移变换，平移向量为 $\left(\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right)$。使用齐次坐标，我们可以表示为：

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 0& 1& 3\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right)$

# 齐次坐标中 w = 0 表示什么意思？

在齐次坐标系中，一个点的坐标通常表示为 $(x,y,z,w)$，其中 $w$ 是一个非零的实数。

齐次坐标的一个重要特性是，通过将每个坐标除以 $w$，可以得到该点的标准欧几里得坐标 $(x/w,y/w,z/w)$。

在齐次坐标中，$w=0$ 表示一个在无穷远处的点和方向。

在二维空间中，$(x,y,0)$ 表示一个无穷远处的点，而在三维空间中，$(x,y,z,0)$ 表示一个无穷远处的点。这种表示法在处理透视变换、投影变换和射影几何时非常有用。

我们知道一个点光源的无限远处是平行光，类似于太阳光，太阳是一个点光源，光线到地球后变成了平行光。因此平行光可以通过改变点光源位置向量对应的齐次坐标中的 $w$ 的值来表示，当 $w=1$ 时，即还在点光源的原来位置，依旧是一个点光源。当 $w=0$ 时，即在点光源的无限远处，变为一个平行光。

# 线性变换的本质

在二维空间中，设两个基向量 $\mathbf{x}=(1,0)$ 和 $\mathbf{y}=(0,1)$，则任意一个向量 $\mathbf{a}=(i,j)$ 可以表示为 $\mathbf{a}=i\mathbf{x}+j\mathbf{y}$。

当空间发生线性变换后，所有向量都会发生变换，包括基向量。

假设变换后的基向量为 ${\mathbf{x}}^{\prime }=(x_1,y_1)$ 和 ${\mathbf{y}}^{\prime }=(x_2,y_2)$，则变换后的向量 $\mathbf{a}$ 可以表示为 $\mathbf{a}=i{\mathbf{x}}^{\prime }+j{\mathbf{y}}^{\prime }=i(x_1,y_1)+j(x_2,y_2)$。

写成矩阵形式，得到：

$\mathbf{a}=i\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right]+j\left[\begin{array}{c}{x}_2\\ y_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}i{x}_1\\ i{y}_1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}j{x}_2\\ j{y}_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}i{x}_1+j{x}_2\\ i{y}_1+j{y}_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{x}_1& x_2\\ y_1& y_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}i\\ j\end{array}\right]$

其中，$\left[\begin{array}{cc}{x}_1& x_2\\ y_1& y_2\end{array}\right]$ 是变换矩阵。

${\mathbf{x}}^{\prime }=(x_1,y_1)$ 是 $\mathbf{x}=(1,0)$ 经过线性变换后的基向量，${\mathbf{y}}^{\prime }=(x_2,y_2)$ 是 $\mathbf{y}=(0,1)$ 经过线性变换后的基向量。

因此，线性变换的本质是将向量表示为基向量的线性组合，并通过变换矩阵将原来的基向量变换为新的基向量。

# 向量的构造以及平移不变性

向量的构造：

• 向量可以直接通过指定其分量来定义。

  • 在二维空间中，向量 $\mathbf{v}=(v_1,v_2)$ 可以通过指定 $v_1$ 和 $v_2$ 的值来定义。

  • 在三维空间中，向量 $\mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3)$ 可以通过指定 $v_1$、$v_2$ 和 $v_3$ 的值来定义。

• 向量可以通过两个点的坐标差来计算。

  • 在二维空间中，如果有点 $A(x_1,y_1)$ 和点 $B(x_2,y_2)$，那么从点 $A$ 到点 $B$ 的向量 $\mathbf{v}$ 可以表示为：$\mathbf{v}=(x_2-x_1,y_2-y_1)$。

  • 在三维空间中，如果有点 $A(x_1,y_1,z_1)$ 和点 $B(x_2,y_2,z_2)$，那么从点 $A$ 到点 $B$ 的向量 $\mathbf{v}$ 可以表示为：$\mathbf{v}=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)$。

• 在几何学中，向量可以通过几何构造得到。

  • 可以通过平行四边形法则或三角形法则来构造向量。

平移不变性：

• 平移不变性是指将一个向量从一个位置平移到另一个位置，向量的方向和大小保持不变。

• 平移不变性是指向量的方向和大小不会因为空间的平移而改变，但这并不妨碍它们在空间中进行平移变换，因为这种变换只是改变了它们的位置，而没有改变它们的方向和大小。

• 有点 $A(1,2)$ 和点 $B(3,5)$，那么从点 $A$ 到点 $B$ 的向量 $\mathbf{v}$ 可以表示为：$\mathbf{v}=(3-1,5-2)=(2,3)$，对空间进行平移变换后，此时点 $A(4,5)$ 和点 $B(6,8)$，但向量 $\mathbf{v}=(2,3)$ 的方向和大小保持不变。

# 复合变换

将多个变换矩阵按顺序相乘，以实现一系列连续的变换。

这种复合变换可以应用于向量或点，使其按照指定的顺序进行旋转、缩放、平移等操作。

假设我们有多个变换矩阵 $T_1,T_2,\dots ,T_n$，我们希望对一个向量 $\mathbf{v}$ 进行这些变换。复合变换的矩阵 $T$ 可以通过将这些变换矩阵按顺序相乘得到：

$T=T_n\cdot T_{n-1}\cdot \dots \cdot T_2\cdot T_1$

然后，我们可以通过以下方式对向量 $\mathbf{v}$ 进行复合变换：

${\mathbf{v}}^{\prime }=T\cdot \mathbf{v}$

其中，${\mathbf{v}}^{\prime }$ 是变换后的向量。

具体例子：

假设我们有以下三个变换矩阵：

• 平移矩阵 $T_1$：

$T_1=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& t_x\\ 0& 1& 0& t_y\\ 0& 0& 1& t_z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

• 旋转矩阵 $T_2$（绕 $z$ 轴旋转 $\theta$ 角度）：

$T_2=\left(\begin{array}{cccc}\cos \theta & -\sin \theta & 0& 0\\ \sin \theta & \cos \theta & 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

• 缩放矩阵 $T_3$：

$T_3=\left(\begin{array}{cccc}{s}_x& 0& 0& 0\\ 0& s_y& 0& 0\\ 0& 0& s_z& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

我们希望对向量 $\mathbf{v}=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ 1\end{array}\right)$ 进行先平移、再旋转、最后缩放的复合变换。

复合变换矩阵 $T=T_3\cdot T_2\cdot T_1$。

计算复合变换矩阵 $T$：

$T=\left(\begin{array}{cccc}{s}_x& 0& 0& 0\\ 0& s_y& 0& 0\\ 0& 0& s_z& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cccc}\cos \theta & -\sin \theta & 0& 0\\ \sin \theta & \cos \theta & 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& t_x\\ 0& 1& 0& t_y\\ 0& 0& 1& t_z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

对向量 $\mathbf{v}$ 进行复合变换：

${\mathbf{v}}^{\prime }=T\cdot \mathbf{v}$

这样，${\mathbf{v}}^{\prime }$ 就是经过平移、旋转和缩放后的向量。

矩阵乘法不满足交换律，即 $A\cdot B\ne B\cdot A$。因此，变换矩阵的顺序非常重要。通常，变换的顺序是从右到左，即先应用最右边的矩阵，最后应用最左边的矩阵。

通过这种方式，我们可以将多个变换组合成一个单一的变换矩阵，从而简化计算和提高效率。

# 三维空间的旋转变换

在三维空间中，旋转变换的定义和性质会受到坐标系手性的影响，即左手坐标系和右手坐标系之间的差异。

右手坐标系：

• 伸出右手，拇指指向 X 轴的正方向。

• 食指指向 Y 轴的正方向。

• 中指指向 Z 轴的正方向。

• 确定一个旋转轴后，右手握住拳头，拇指指向旋转轴的正方向，四指弯曲的方向为旋转的正方向。

左手坐标系：

• 伸出左手，拇指指向 X 轴的正方向。

• 食指指向 Y 轴的正方向。

• 中指指向 Z 轴的正方向。

• 确定一个旋转轴后，左手握住拳头，拇指指向旋转轴的正方向，四指弯曲的方向为旋转的正方向。

左手坐标系，绕 X 轴旋转：

正方向（顺时针）旋转 $\theta$ 角度，旋转矩阵 $R_x(\theta )$ 可以表示为：

$R_x(\theta )=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \theta & -\sin \theta \\ 0& \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$

反方向（逆时针）旋转 $\theta$ 角度，旋转矩阵 $R_x(\theta )$ 可以表示为：

$R_x(\theta )=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \theta & \sin \theta \\ 0& -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$

右手坐标系，绕 X 轴旋转：

正方向（逆时针）旋转 $\theta$ 角度，旋转矩阵 $R_x(\theta )$ 可以表示为：

$R_x(\theta )=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \theta & -\sin \theta \\ 0& \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$

反方向（顺时针）旋转 $\theta$ 角度，旋转矩阵 $R_x(\theta )$ 可以表示为：

$R_x(\theta )=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \theta & \sin \theta \\ 0& -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$

左手坐标系，绕 Y 轴旋转：

正方向（顺时针）旋转 $\theta$ 角度，旋转矩阵 $R_y(\theta )$ 可以表示为：

$R_y(\theta )=\left(\begin{array}{ccc}\cos \theta & 0& \sin \theta \\ 0& 1& 0\\ -\sin \theta & 0& \cos \theta \end{array}\right)$

反方向（逆时针）旋转 $\theta$ 角度，旋转矩阵 $R_y(\theta )$ 可以表示为：

$R_y(\theta )=\left(\begin{array}{ccc}\cos \theta & 0& -\sin \theta \\ 0& 1& 0\\ \sin \theta & 0& \cos \theta \end{array}\right)$

右手坐标系，绕 Y 轴旋转：

正方向（逆时针）旋转 $\theta$ 角度，旋转矩阵 $R_y(\theta )$ 可以表示为：

$R_y(\theta )=\left(\begin{array}{ccc}\cos \theta & 0& \sin \theta \\ 0& 1& 0\\ -\sin \theta & 0& \cos \theta \end{array}\right)$

反方向（顺时针）旋转 $\theta$ 角度，旋转矩阵 $R_y(\theta )$ 可以表示为：

$R_y(\theta )=\left(\begin{array}{ccc}\cos \theta & 0& -\sin \theta \\ 0& 1& 0\\ \sin \theta & 0& \cos \theta \end{array}\right)$

左手坐标系，绕 Z 轴旋转：

正方向（顺时针）旋转 $\theta$ 角度，旋转矩阵 $R_z(\theta )$ 可以表示为：

$R_z(\theta )=\left(\begin{array}{ccc}\cos \theta & -\sin \theta & 0\\ \sin \theta & \cos \theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

反方向（逆时针）旋转 $\theta$ 角度，旋转矩阵 $R_z(\theta )$ 可以表示为：

$R_z(\theta )=\left(\begin{array}{ccc}\cos \theta & \sin \theta & 0\\ -\sin \theta & \cos \theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

右手坐标系，绕 Z 轴旋转：

正方向（逆时针）旋转 $\theta$ 角度，旋转矩阵 $R_z(\theta )$ 可以表示为：

$R_z(\theta )=\left(\begin{array}{ccc}\cos \theta & -\sin \theta & 0\\ \sin \theta & \cos \theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

反方向（顺时针）旋转 $\theta$ 角度，旋转矩阵 $R_z(\theta )$ 可以表示为：

$R_z(\theta )=\left(\begin{array}{ccc}\cos \theta & \sin \theta & 0\\ -\sin \theta & \cos \theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

总结：

旋转矩阵的逆矩阵即是旋转矩阵的转置矩阵。