2024年CSP-S1提高级第一轮题解
一、单项选择（30分）
（共15题，每题2分，共计30分：每题有且仅有一个正确选项）
- 在 Linux 系统中，如果你想显示当前工作目录的路径，应该使用哪个命令？
- A.
pwd - B.
cd - C.
ls - D.
echo
pwd：显示当前工作目录的绝对路径cd：用于切换当前工作目录ls：列出目录内容echo：终端输出文本字符串或者变量的值，例如：echo "Hello, World!"mkdir：创建新目录rmdir：删除空目录
- 假设一个长度为 n n n的整数数组中每个元素值互不相同，且这个数组是无序的。要找到这个数组中最大元素的时间复杂度是多少？（）
- A. O ( n ) O(n) O(n)
- B. O ( l o g n ) O(logn) O(logn)
- C. ( n l o g n ) (nlogn) (nlogn)
- D. O ( 1 ) O(1) O(1)
在无序数组中寻找最大值，需要 n − 1 n−1 n−1 次比较，以第一个元素作为初始值，后续每个元素比较一次，时间复杂度为 O ( n ) O(n) O(n)。
- 在C++中，以下哪个函数调用会造成栈溢出？（）
- A.
int foo() { return 0; } - B.
int bar() { int x = 1; return x; } - C.
void baz() { int a[1000]; baz(); } - D.
void qux() { return; }
选项C中实现了一个递归函数，但没有递归结束条件，并且每次调用会为一个局部数组
a[1000]分配内存空间，可能会造成栈溢出。
- 在一场比赛中，有 10 10 10 名选手参加，前三名将获得金、银、铜牌。若不允许并列，且选手只能获得一枚奖牌，则不同的颁奖方式共有多少种？（）
- A. 120 120 120
- B. 720 720 720
- C. 504 504 504
- D. 1000 1000 1000
从 10 10 10 名选手中选出 3 3 3名获得金、银、铜牌，存在顺序，答案为 A 10 3 = 720 A_{10}^3=720 A103=720
- 下面哪个数据结构最适合实现先进先出（FIFO）的功能？（）
- A. 栈
- B. 队列
- C. 线性表
- D. 二叉搜索树
- 已知 f ( 1 ) = 1 f(1)=1 f(1)=1，且对于 n ≥ 2 n\ge2 n≥2有 f ( n ) = f ( n − 1 ) + f ( ⌊ n 2 ⌋ ) f(n)=f(n-1)+f(\lfloor \frac{n}{2} \rfloor) f(n)=f(n−1)+f(⌊2n⌋)，则 f ( 4 ) f(4) f(4)的值为：（）
- A. 4 4 4
- B. 5 5 5
- C. 6 6 6
- D. 7 7 7
f ( 1 ) = 1 f(1)=1 f(1)=1
f ( 2 ) = f ( 1 ) + f ( 1 ) = 2 f(2)=f(1)+f(1)=2 f(2)=f(1)+f(1)=2
f ( 3 ) = f ( 2 ) + f ( 1 ) = 3 f(3)=f(2)+f(1)=3 f(3)=f(2)+f(1)=3
f ( 4 ) = f ( 3 ) + f ( 2 ) = 5 f(4)=f(3)+f(2)=5 f(4)=f(3)+f(2)=5
- 假设有一个包含 n n n个顶点的无向图，且该图是欧拉图。以下关于该图的描述中哪一项不一定正确？（）
- A. 所有顶点的度数均为偶数
- B. 该图连通
- C. 该图存在一个欧拉回路
- D. 该图的边数是奇数
无向欧拉图是具有欧拉回路的无向图。
欧拉回路是指通过图中每条边且仅通过一次，并且经过每个顶点后最终回到起始顶点的回路。简单说就是一笔画完所有边（不重复画任何一条线），并且起点和终点必须是同一个点（画完要回到出发的地方），比如画一个正方形（□）。
存在欧拉回路的条件：
- 连通性：欧拉图一定是连通的
- 所有顶点的度数是偶数，即顶点连接的边数是偶数
D选项不一定正确，例如△是欧拉图，边数为奇数，□也是欧拉图，边数为偶数。
- 对数组进行二分查找的过程中，以下哪个条件必须满足？（ ）
- A. 数组必须是有序的
- B. 数组必须是无序的
- C. 数组长度必须是 2 2 2 的幂
- D. 数组中的元素必须是整数
- 考虑一个自然数 n n n，以及一个模数 m m m，你需要计算 n n n的逆元，即 n n n在 m m m意义下的乘法逆元。下列哪种算法最为合适？( )
- A. 使用暴力法依次尝试
- B. 使用扩展欧几里得算法
- C. 使用快速幂法
- D. 使用线性筛法
在模 m m m 的意义下，计算 n n n 的乘法逆元，是指找到一个整数 x x x ，使得： n × x ≡ 1 ( m o d m ) n \times x \equiv 1 \pmod{m} n×x≡1(modm)，即 ( n × x (n \times x (n×x ) 除以 ( m m m ) 的余数为 1 1 1
- 逆元存在的条件
逆元存在的充要条件是 n n n 和 m m m 互质（即 gcd ( n , m ) = 1 \gcd(n, m) = 1 gcd(n,m)=1。
验证方法：用欧几里得算法求 n n n 和 m m m 的最大公约数（GCD）。若结果为 1，则逆元存在。 - 计算方法：扩展欧几里得算法
这是最常用的方法，基于以下原理：
裴蜀定理（贝祖定理）：若 gcd ( n , m ) = 1 \gcd(n, m) = 1 gcd(n,m)=1，则存在整数 ( x , y ) (x, y) (x,y) 使得： n × x + m × y = 1 n \times x + m \times y = 1 n×x+m×y=1，其中 x x x 即为 n n n 模 m m m 的逆元。例如： n = 3 n = 3 n=3， m = 7 m = 7 m=7 ：- 用欧几里得算法求 GCD： gcd ( 3 , 7 ) = 1 \gcd(3, 7) = 1 gcd(3,7)=1，逆元存在。
- 反向代入求系数：从最后一步等式反向代入： 1 = 7 − 2 × 3 1 = 7 - 2 \times 3 1=7−2×3，因此 x = − 2 x = -2 x=−2；但需要将其转化为模 7 7 7 的正数解： x = − 2 m o d 7 = 5 x = -2 \mod 7 = 5 x=−2mod7=5。
- 验证： 3 × 5 = 15 ≡ 1 ( m o d 7 ) 3 \times 5 = 15 \equiv 1 \pmod{7} 3×5=15≡1(mod7)
快速幂法算法虽然也可以用来求 n n n在 m m m意义下的乘法逆元，前提是 m m m是质数。
- 在设计一个哈希表时，为了减少冲突，需要使用适当的哈希函数和冲突解决策略。已知某哈希表中有 n n n 个键值对，表的装载因子为 a ( 0 < a ≤ 1 ) a(0<a≤1) a(0<a≤1)。在使用开放地址法解决冲突的过程中，最坏情况下查找一个元素的时间复杂度为（ ）。
- A. O ( 1 ) O(1) O(1)
- B. O ( l o g n ) O(logn) O(logn)
- C. O ( 1 1 − a ) O(\frac{1}{1-a}) O(1−a1)
- D. O ( n ) O(n) O(n)
在开放寻址法中，装载因子（Load Factor） 是衡量哈希表空间利用效率的关键指标，其定义为：
装载因子 a = 已存储元素数量 n 哈希表总容量 m a = \frac{\text{已存储元素数量} n}{\text{哈希表总容量}m} a=哈希表总容量m已存储元素数量n。装载因子越高（接近1），哈希冲突的概率越大，导致插入、查找和删除操作所需的探测次数增加。线性探测的平均成功查找次数约为 1 2 ( 1 + 1 1 − a ) \frac{1}{2}\left(1 + \frac{1}{1-a}\right) 21(1+1−a1)。
在最坏情况下，哈希表已经装满，装载因子 a = 1 a=1 a=1，要遍历整个哈希表，所以答案是 O ( n ) O(n) O(n)
- 假设有一棵 h h h 层的完全二叉树，该树最多包含多少个结点？
- A. 2 h − 1 2^h-1 2h−1
- B. 2 h + 1 − 1 2^{h+1}-1 2h+1−1
- C. 2 h 2^h 2h
- D. 2 h + 1 2^{h+1} 2h+1
满二叉树也是完全二叉树，一棵 h h h 层的满二叉树，有 2 h − 1 2^h-1 2h−1个结点。
- 设有一个 10 10 10 个顶点的完全图，每两个顶点之间都有一条边。有多少个长度为 4 4 4 的环？（）
- A. 120 120 120
- B. 210 210 210
- C. 630 630 630
- D. 5040 5040 5040
在 10 10 10个顶点的完全图（无向）中，计算长度为 4 4 4的环的数量：
- 选择 4 4 4个顶点：从 10 10 10个顶点中选出4个，有 C ( 10 4 ) = 210 C\binom{10}{4} = 210 C(410)=210种方式。
- 每个 4 4 4顶点的环数量：对于选定的 4 4 4个顶点，形成一个长度为 4 4 4的环。在无向完全图中，不同的环结构需排除起点和方向的重复。
- 4种起点，例如下面4种排列表示了同一个环，但被计算了 4次：
- A → B → C → D → A A \to B \to C \to D \to A A→B→C→D→A
- B → C → D → A → B B \to C \to D \to A \to B B→C→D→A→B
- C → D → A → B → C C \to D \to A \to B \to C C→D→A→B→C
- D → A → B → C → D D \to A \to B \to C \to D D→A→B→C→D
- 2种方向，环可以沿顺时针或逆时针方向遍历，这两种方向对应的路径也是同一个环，但被计算了 2 2 2次，例如：
- 顺时针： A → B → C → D → A A \to B \to C \to D \to A A→B→C→D→A
- 逆时针： A → D → C → B → A A \to D \to C \to B \to A A→D→C→B→A
- 每个 4 4 4顶点的环被计算了 ( 4 × 2 = 8 4 \times 2 = 8 4×
- 4种起点，例如下面4种排列表示了同一个环，但被计算了 4次：
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