基于pythonA*算法两种搜索算法求解八数码问题

最新推荐文章于 2025-04-02 19:48:04 发布

程序员奇奇

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分类专栏： python实战100例文章标签：算法 python 搜索算法

本文链接：https://blog.csdn.net/pythonyanyan/article/details/128748135

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文章介绍了使用A类的迭代深入搜索和A*算法解决八数码问题的实现方法，包括节点结构、启发值计算以及两种算法的具体步骤。实验结果显示，A*算法搜索次数少但耗时较长，而迭代深入搜索搜索次数多但耗时短。两者在多数情况下都能找到最优路线，但A*算法的启发式搜索在复杂情况下的效率有待提高。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

实验任务

这里我选择 A 类的迭代深入搜索和 A*算法两种搜索算法求解八数码问题的解，并比较两种方式。

八数码问题是：在 3 × 3 九宫棋盘上，放置数码为 1 - 8 的 8 个棋牌，剩下一个空格（用 0 代替），只能通过棋牌向空格的移动来改变棋盘的布局。要求找到一种从给定初始布局（即初始状态）到目标布局（即目标状态）的移动方法。

比如我们可以让初始状态为：

1	2	3
4	5	6
7	0	8

目标状态为：

1	2	3
4	0	6
7	5	8

只需要交换 5 和 0 ，即可实现。

解决方案

我们将一种可能的 3 × 3 九宫棋盘，用一个 Node 类（下面我都称之为节点）来表示：包含 9 个数字的排列方式（即 data ），到达这个节点的步数（即 step ），当前节点是从哪个节点来的（即 parent ）和每个节点的启发值。

# 创建Node类 (包含当前数据内容,父节点,步数)
class Node:
    f_loss = -1  # 启发值
    step = 0  # 初始状态到当前状态的距离（步数）
    parent = None,  # 父节点

    # 用状态和步数构造节点对象
    def __init__(self, data, step, parent):
        self.data = data        # 当前状态数值,是一个数组
        self.step = step        # 当前的步数
        self.parent = parent    # 当前节点的父节点
        self.f_loss = cal_wcost(data) + step # 计算启发值

A*算法

属于启发式搜索的一种，意思是说每次走到一个节点，我们就计算一下这个节点的启发值，如果节点的启发值越低，我们就把它的优先级设置的越高。启发值计算公式如下： f(n) 表示初始节点到当前节点的耗费，h(n) 表示当前节点到目标节点的预测耗费。

f(n) = g(n) + h(n)

对于此题，我们可以用当前节点和目标节点的不同的个数来当作预测值，如果 9 个数字各不相同则预测值为 9 。预测值计算函数如下：

def cal_wcost(num):
    '''计算此时的不同程度'''
    con = 0
    # 遍历整个九宫格
    for i in range(3):
        for j in range(3):
            tmp_num = num[i][j]
            compare_num = end_data[i][j]
            if tmp_num != 0:
                # 不等，则加一
                con += (tmp_num != compare_num)
    return con

接下来我们来看看 A* 算法的实现。类似 BFS 算法，我们用队列 opened 来存储入队的节点，用 closed 列表标记是否访问。队列不为空，那么出队，将 0 （空位）四周可以与之交换的与之交换，如果交换后的节点没有访问过，就入队。上面都是和 BFS 一样的操作。入队时，我们需要判断队列中是否有这个节点，有的话，选择启发值较小的更新队列。最后，排序队列，选择队列中启发值最小的出队。

def astar_method_a_function(opened, closed):
    '''AStar启发式搜索'''
    count = 0
    # 队列不为空
    while len(opened.queue) != 0:
        # 出队
        node = opened.get()
        # 如果出队节点是目标状态
        if (node.data == end_data).all():
            print(f'总共耗费{count}轮')
            return node
        # 将取出的点加入closed表中，标记已经访问
        # closed[data_to_int(node.data)] = 1
        closed.append(data_to_int(node.data))
        # 四种移动方法
        for action in ['left', 'right', 'up', 'down']:
            # 创建子节点
            child_node = Node(swap(node.data, action), node.step + 1, node)
            index = data_to_int(child_node.data)
            # 没有被访问
            if index not in closed:
                # 入队，但是要先判断是否在队列里
                refresh_open(child_node, opened)
        # 根据其中的f_loss值为open表进行排序
        # 保证先出队的都是启发值较小的
        sorte_by_floss(opened)
        count += 1
        # 达到搜索上界
        if count > 5000:
            print("没有搜索到可行解!")
            break

迭代深入搜索

迭代深入搜索（ IDS ），本质上就是深度优先搜索， IDS 结合了 DFS 的空间优势与 BFS 的时间优势。对搜索的深度进行了限制，使得在搜索到限制深度后必须开始新的搜索路径。以至于看上去像是广搜（总是完成第 n 的所有节点搜索，再开始第 n + 1 的节点的搜索）。放在这里的话， n 指的就是当前的限制深度。

意思就是说我们本质上还是 DFS 算法。而且不需要维持一个队列了，可以减少空间消耗，也能像广度优先搜索一样得到最佳解。每次 DFS 的时候都有一个最大的搜索深度。由此，对于我们这个求解八数码问题我的想法是：

首先设定查找深度为 count ，然后进行深度优先搜索；没有找到的话， count + 2，继续深度优先搜索。重复上述步骤，直到找到目标节点或者搜索深度达到设定的最大值。具体代码如下：

con = 0    # 全局变量，记录查找次数


def dfs(node, closed, depth, count):
    '''dfs搜索，最大深度为count'''
    # 达到最大深度了，就返回
    if depth == count:
        return []
    # 计数
    global con
    con += 1
    # 四个方向分别查找
    for action in ['left', 'right', 'up', 'down']:
        child_node = Node(swap(node.data, action), node.step + 1, node)
        # 如果查找到了，那么就返回
        if (child_node.data == end_data).all():
            print(f'总共耗费{con}轮')
            return child_node
        # 得到此时九宫棋盘对应的唯一数字
        index = data_to_int(child_node.data)
        # 如果没有标记过
        if index not in closed:
            # 标记
            closed.append(index)
            # dfs搜索下一个节点
            a = dfs(child_node, closed, depth + 1, count)
            # 如果返回值不是 [] ，说明找到了
            if a != []:
                return a
    return []


def ids_method_a_function(start_node):
    '''迭代深入搜索'''
    if (start_node.data == end_data).all():
        return start_node
    # count表示查找深度，这里我让查找深度从2增加到100，每次增加2
    for count in range(2, 101, 2):
        # 标记列表
        closed = []
        # 标记起始节点
        closed.append(data_to_int(start_node.data))
        # dfs搜索
        a = dfs(start_node, closed, 0, count)
        # 搜索到了
        if a != []:
            return a
    print("没有搜索到可行解!")

程序框架

对比分析

测试案例

这里初始输入为 1 2 3 4 0 6 7 5 8

目标状态设置为 1 2 3 4 0 5 6 7 8

A* 算法运行结果如下图：

总共耗费279轮
+------+-----------+--------+
| step |    data   | f_loss |
+------+-----------+--------+
|  0   |  [[1 2 3] |   3    |
|      |   [4 0 6] |        |
|      |  [7 5 8]] |        |
| ---  |  -------- |  ---   |
|  1   |  [[1 2 3] |   4    |
|      |   [4 5 6] |        |
|      |  [7 0 8]] |        |
| ---  |  -------- |  ---   |
|  2   |  [[1 2 3] |   4    |
|      |   [4 5 6] |        |
|      |  [0 7 8]] |        |
| ---  |  -------- |  ---   |
|  3   |  [[1 2 3] |   6    |
|      |   [0 5 6] |        |
|      |  [4 7 8]] |        |
| ---  |  -------- |  ---   |
|  4   |  [[1 2 3] |   7    |
|      |   [5 0 6] |        |
|      |  [4 7 8]] |        |
| ---  |  -------- |  ---   |
|  5   |  [[1 2 3] |   8    |
|      |   [5 6 0] |        |
|      |  [4 7 8]] |        |
| ---  |  -------- |  ---   |
|  6   |  [[1 2 3] |   10   |
|      |   [5 6 8] |        |
|      |  [4 7 0]] |        |
| ---  |  -------- |  ---   |
|  7   |  [[1 2 3] |   12   |
|      |   [5 6 8] |        |
|      |  [4 0 7]] |        |
| ---  |  -------- |  ---   |
|  8   |  [[1 2 3] |   13   |
|      |   [5 0 8] |        |
|      |  [4 6 7]] |        |
| ---  |  -------- |  ---   |
|  9   |  [[1 2 3] |   14   |
|      |   [0 5 8] |        |
|      |  [4 6 7]] |        |
| ---  |  -------- |  ---   |
|  10  |  [[1 2 3] |   14   |
|      |   [4 5 8] |        |
|      |  [0 6 7]] |        |
| ---  |  -------- |  ---   |
|  11  |  [[1 2 3] |   14   |
|      |   [4 5 8] |        |
|      |  [6 0 7]] |        |
| ---  |  -------- |  ---   |
|  12  |  [[1 2 3] |   14   |
|      |   [4 5 8] |        |
|      |  [6 7 0]] |        |
| ---  |  -------- |  ---   |
|  13  |  [[1 2 3] |   14   |
|      |   [4 5 0] |        |
|      |  [6 7 8]] |        |
| ---  |  -------- |  ---   |
|  14  |  [[1 2 3] |   14   |
|      |   [4 0 5] |        |
|      |  [6 7 8]] |        |
+------+-----------+--------+
A*算法耗时 1.5066275596618652 s

深入迭代搜索算法运行结果如下图（用的是和上面同样的输出函数，这里的启发值我们忽略即可）：

总共耗费1501轮
+------+-----------+--------+
| step |    data   | f_loss |
+------+-----------+--------+
|  0   |  [[1 2 3] |   3    |
|      |   [4 0 6] |        |
|      |  [7 5 8]] |        |
| ---  |  -------- |  ---   |
|  1   |  [[1 2 3] |   4    |
|      |   [4 6 0] |        |
|      |  [7 5 8]] |        |
| ---  |  -------- |  ---   |
|  2   |  [[1 2 0] |   6    |
|      |   [4 6 3] |        |
|      |  [7 5 8]] |        |
| ---  |  -------- |  ---   |
|  3   |  [[1 0 2] |   8    |
|      |   [4 6 3] |        |
|      |  [7 5 8]] |        |
| ---  |  -------- |  ---   |
|  4   |  [[0 1 2] |   10   |
|      |   [4 6 3] |        |
|      |  [7 5 8]] |        |
| ---  |  -------- |  ---   |
|  5   |  [[4 1 2] |   12   |
|      |   [0 6 3] |        |
|      |  [7 5 8]] |        |
| ---  |  -------- |  ---   |
|  6   |  [[4 1 2] |   13   |
|      |   [6 0 3] |        |
|      |  [7 5 8]] |        |
| ---  |  -------- |  ---   |
|  7   |  [[4 1 2] |   14   |
|      |   [6 5 3] |        |
|  9   |  [[4 1 2] |   14   |
|      |   [0 5 3] |        |
|      |  [6 7 8]] |        |
| ---  |  -------- |  ---   |
|  10  |  [[0 1 2] |   14   |
|      |   [4 5 3] |        |
|      |  [6 7 8]] |        |
| ---  |  -------- |  ---   |
|  11  |  [[1 0 2] |   14   |
|      |   [4 5 3] |        |
|      |  [6 7 8]] |        |
| ---  |  -------- |  ---   |
|  12  |  [[1 2 0] |   14   |
|      |   [4 5 3] |        |
|      |  [6 7 8]] |        |
| ---  |  -------- |  ---   |
|  13  |  [[1 2 3] |   14   |
|      |   [4 5 0] |        |
|      |  [6 7 8]] |        |
| ---  |  -------- |  ---   |
|  14  |  [[1 2 3] |   14   |
|      |   [4 0 5] |        |
|      |  [6 7 8]] |        |
+------+-----------+--------+
迭代深入搜索算法耗时 0.2624633312225342 s

个人分析

我们可以看到， A* 算法的搜索次数为 279 轮，耗费的时间 1.5066275596618652 s；迭代深入算法搜索次数为 1501 轮，耗费的时间只有 0.2624633312225342 s。

搜索次数分析：

我认为 A* 算法搜索次数较少的原因是运用了贪心的思想，每一步都是向着目标节点的方向前进，因此可以较快的得到结果；而迭代深入搜索算法没有优先级，属于穷举类型。并且，由于结合了广度优先搜索算法，第一次搜索深度为 2 ，第二次深度为 4 这样，就会造成深度较低的节点被重复访问，因此搜索次数多。

搜索时间分析：

A* 算法的耗时更长，我认为原因是 A* 算法元素入队时需要查找是否已经入队，而且入队后为了维持队列按照启发值顺序有需要排序，还有计算节点的启发值等一系列操作，耗时较长；而迭代深入搜索算法虽然搜索次数较多，但是没有上面排序查找等操作。而且很多节点的访问都是重复的， CPU 的 cache 可以加速重复节点的访问，因此耗时较短。

内存消耗分析：

A* 算法需要一个额外的队列，增加了内存开销，迭代深入搜索主要的内存开销是迭代时调用函数栈。同时，二者都需要一个标记列表。

是否为最优路线

A* 算法运用贪心的思想，虽然不能保证是最优解，但是贪心可以保证局部最优；迭代深入搜索兼具 BFS 和 DFS 的优点，我设置的每次搜索深度之差为 2 ，那么可以保证我们得到的路径与最优路径之间的误差在 2 以内。在我测试的几组数据中，二者得到的结果相同。

综合来看，A* 算法的搜索次数较少，但是耗时较长；迭代深入搜索搜索次数较长，但是耗时较短。一般来说，二者都能得到最优路线。

补充测试

增加两组测试：

输入：3 8 2 4 0 1 5 6 7
目标：1 8 7 2 0 6 3 4 5
迭代深入搜索算法耗费7090轮，耗时 1.7389905452728271 s
A*算法共耗费834轮，耗时 31.58454418182373 s

输入：3 0 2 8 1 4 7 6 5
目标：1 2 3 8 0 4 7 6 5
代深入搜索算法耗费6347轮，耗时 1.4747085571289062 s
A*算法耗费330轮,耗时 2.457353115081787 s

运行结果截图

限于篇幅，注释掉了路径的输出。

小结

选择这个题目我认为对我而言是一个很大的收获。首先是学习了 python 的相关操作，尤其的类的思想。其次学习了两种优秀的搜索算法。迭代深入搜索结合了深度优先算法和广度优先算法的优点，在书写代码时，不仅巩固了以往的知识，同样学到了一个性能更好也很常用的算法。对于 A* 算法，同样有了一个深入的了解，启发式搜索在有的时候，性能很好。同样，也有很多的不足，比如我的 A* 算法的启发值可能并没有想到一个最优的计算方法，导致对于一些较为复杂的输入，得不到解答。但总的来看，还是顺利完成了实验。

完整代码https://download.csdn.net/download/pythonyanyan/87394450