本文总结对称矩阵、二次型和奇异值分解等内容。
由于对称矩阵具有许多良好的性质，工程上被广泛应用。二次型和奇异值分解也是由对称矩阵具有的特殊性质推广得到的
首先不要忘了之前讲特征值时提到的对角化公式：
A=PDP−1
A
=
P
D
P
−
1
A具有n个线性无关的特征值，P的列空间由A的特征向量构成，D是对角线元素为A的特征值的对角矩阵
若A为对称矩阵，则其不同特征空间中（一个特征值对应的所有特征向量构成的子空间）的任意两个向量正交，即P为正交矩阵
一个方阵A可正交对角化的充要条件：A是对称矩阵
对称矩阵的谱定理：
矩阵A的特征值的集合称为A的谱。若A为n*n对称矩阵，有：
1.A有n个实数特征值（包括重复的特征值）
2.对每一个特征值，对应的特征子空间的维数等于
λ
λ
作为特征方程的根的重数
3.特征空间相互正交
4.A可正交对角化
因此对于对称矩阵，有一下有趣形式的谱分解：
A=PDPT=[λ1u1...λnun][uT1...uTn]T
A
=
P
D
P
T
=
[
λ
1
u
1
.
.
.
λ
n
u
n
]
[
u
1
T
.
.
.
u
n
T
]
T
A=λ1u1uT1+...+λnunuTn
A
=
λ
1
u
1
u
1
T
+
.
.
.
+
λ
n
u
n
u
n
T
即A可分解为由A的特征值作为权重的各个小部分，显然，对于
λ
λ
值较小的部分，可以适当忽略，只留下一些较大特征值的加权和，而不影响原矩阵整体的特征表达
二次型：
Rn
R
n
上的一个二次型是一个定义在
Rn
R
n
上的函数，它在向量x处的值可以由表达式
Q(x)=xTAx
Q
(
x
)
=
x
T
A
x
计算，此处A是一个n阶对称矩阵，且矩阵A成为关于二次型的矩阵
可以看到，如果矩阵A是对角矩阵，则多项式Q(x)没有交叉项，否则有交叉项。这时我们想要通过适当的变量代换消去所有的交叉项
二次型的变量代换：
如果x表示
Rn
R
n
中的向量变量，则变量代换是如下形式的等式：
x=Py
x
=
P
y
或
y=P−1x
y
=
P
−
1
x
其中P是可逆矩阵且y是
Rn
R
n
中的一个新变量，P的列可以确定
Rn
R
n
的一个基，y是相对于该基向量x的坐标向量。将上述等式带入原式，有：
xTAx=yT(PTAP)y
x
T
A
x
=
y
T
(
P
T
A
P
)
y
从而新的二次型矩阵为
PTAP
P
T
A
P
，由于A是对称矩阵，因此存在正交矩阵P，使得
PTAP
P
T
A
P
为对角矩阵D（对角元素为A的特征值）：
xTAx=yTDy
x
T
A
x
=
y
T
D
y
这样一来，就消除了原来多项式中的交叉项
上述去除交叉项的变换中，矩阵P的列称为二次型 xTAx x T A x 的主轴，向量y是向量x在由这些主轴构造的 Rn R n 空间的单位正交基下的坐标向量
主轴的几何意义：
不失一般性，考虑矩阵A为2阶对称方阵，c为常数，则所有对应下式的x的集合，对应一个椭圆或圆、双曲线、两条相交直线或单个点、或为空集：
xTAx=c
x
T
A
x
=
c
xTAx=yTDy
x
T
A
x
=
y
T
D
y
的变换相当于是对曲线做了旋转，即旋转了原始的水平和竖直坐标轴
二次型的分类：
def:一个二次型Q是：
1.正定的：对所有非零x，有Q(x)>0
2.负定的：对所有非零x，有Q(x)<0
3.不定的：Q(x)正负值均存在
A为n阶矩阵，则二次型对应特征值有：
1.正定：当且仅当A的所有特征值均为正数
2.负定：当且仅当A的所有特征值均为负数
3.不定：当且仅当A既有正特征值，又有负特征值
相应的矩阵分为：正定矩阵、负定矩阵、不定矩阵
奇异值分解：
考虑到并不是所有矩阵都能对角化分解为：
A=PDP−1
A
=
P
D
P
−
1
，但是，所有矩阵都可以分解为如下形式，也就是奇异值分解：
A=QDP−1
A
=
Q
D
P
−
1
其中D是”对角矩阵“。它是线性代数中最有用的矩阵分解
一个mn矩阵的奇异值：
设A是mn矩阵，则
ATA
A
T
A
是对称矩阵且可以正交对角化，令{
v1,...vn
v
1
,
.
.
.
v
n
}为
Rn
R
n
单位正交基且构成
ATA
A
T
A
的特征向量，{
λ1...λn
λ
1
.
.
.
λ
n
}是
AAT
A
A
T
对应的特征值，则有：
||Avi||2=(Avi)TAvi=vTiATAvi=vTi(λivi)=λi | | A v i | | 2 = ( A v i ) T A v i = v i T A T A v i = v i T ( λ i v i ) = λ i
可见 ATA A T A 的所有特征值均非负，不妨将其从大到小排序。则A的奇异值为 ATA A T A 的特征值的平方根，记为 σ1,...,σn σ 1 , . . . , σ n ，且按递减顺序排列，因此A的奇异值即为向量 Av1,Av2,...Avn A v 1 , A v 2 , . . . A v n 的长度
在数值计算中，A的秩往往对A中元素的微小变化很敏感，为此在计算矩阵的秩时，通常采用计算非零奇异值的个数的方法得到秩的值
SVD分解：
矩阵A的分解涉及一个m*n的“对角矩阵”Σ，形式如下：
Σ=
Σ
=
几何意义：
我们知道，一个向量被一个对角矩阵左乘，相当于在原空间中做了水平和竖直两方向的拉伸，被一个对称矩阵左乘，相当于在原空间中先做了绕原点的旋转，然后再做了沿两个坐标轴的拉伸。而被一个mn矩阵左乘，则会使空间维度发生改变，相当于对向量做了高维或低维的投影，然后在做旋转或拉伸变换
在SVD分解公式中，矩阵∑起到改变空间维度的作用， U U 和起到在新的空间中旋转并拉伸的作用
协方差矩阵：
主成分分析(PCA)：
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