数的认知

目录

代数数、超越数、根式数

一，前言

二，代数数和超越数

三，根式数

五次以上的方程没有求根公式

一，二次方程的求根公式

二，三次方程的求根公式

三，四次方程的求根公式

四，根式解和一般根式解

五，五次以上的方程没有求根公式

群环域

尺规作图与代数数

代数数、超越数、根式数

一，前言

我最近在读《图灵的秘密》，这本书从数的认知开始讲起，让我想起来很多相关知识，但是都是高中所学，当时没有这方面的记录习惯。

现在我想再认真的梳理一遍，好好的写一写，以后忘了也可以随时翻阅，比起到处翻阅参差不齐的资料，自己写的博客还是香的。

二，代数数和超越数

实数分为有理数和无理数，也可以分为代数数和超越数。

代数数是可以表示为整系数方程的根的数，超越数是实数中的其他数。

有理数都是代数数，无理数有的是代数数（如根号2）有的是超越数（如π，e）

三，根式数

仅用整数进行有限次加减乘除以及开整数次方得到的数，该怎么称呼呢？

我没有找到这个名字，按照我的理解姑且称为根式数吧。

有理数属于根式数，但是像 sqrt(2) 或者 sqrt(sqrt(3)+1) 这样的根式数就不是有理数。

根式数属于代数数，但是像下面这个方程的唯一实根，就是代数数而不是根式数。

也就是说，代数数不一定都可以用整数进行有限次加减乘除以及开整数次方得到。

五次以上的方程没有求根公式

一，二次方程的求根公式

1，方程：

2，判别式：

求根公式：

3，根的分布

如果，那么有2个不同的实根

如果，那么有1个二重实根

如果，那么有2个不同的复数根

二，三次方程的求根公式

1，一元三次方程都可化为x³+px+q=0

2，它的3个解分别是

其中

其中判别式

3，这个求根公式其实可以用换元法推导出来。

首先，根据韦达定理，3个根的和为0，那么3个根就一定可以表示为的形式，其中a,b是复数

这样，可以算出来，

然后，假设，即

那么

所以 , 即，即

4，根的分布

如果，那么有3个不同的根，1个实根2个复根

如果，那么有3个实根，如果p=q=0那么有个三重根0，否则有1个二重实根和另外一个不同的实根

如果，那么有3个不同的实根

5，一般三次方程

可以化成

所以

所以

三，四次方程的求根公式

式子过于复杂，我没研究过，百度百科有介绍。

四，根式解和一般根式解

对于整系数方程，仅用系数进行有限次加减乘除以及开整数次方得到的解叫根式解，

对于方程的通式，即系数用字母表示，如果有仅用系数进行有限次加减乘除以及开整数次方得到的解析式，使得这个式子一定是方程的解，那么就叫做一般根式解。

对比代数式的概念：对字母进行有限次加减乘除以及乘方开方的解析式称为代数式。

差别在于有没有乘方，还有一个差别在于一般根式解只能开整数次方（其实这两个是一回事，如果乘方的次数也是一个确定的整数，那直接用乘法表示就完事了）。

五，五次以上的方程没有求根公式

数学家用群论通过证明，五次以上的方程没有一般根式解，即五次以上的方程没有求根公式。

我还有2个推测：

（1）五次以上的方程无法用代数式表示出一个通解，即允许乘方也不行，允许开实数次方也不行。

（2）在代数式的基础上，再允许形如a^b的表达式，还是无法表示出一个通解。

群环域

这其实是很复杂的几个概念，更多内容参考我的数学与泛型编程系列博客。

有加减的是群，有加减乘的是环，有加减乘除的是域。域一定是环，环一定是群。

举个简单的例子，整数集是环但不是域，有理数集是域。

再举个复杂点的例子，形如ax+b的整系数多项式构成的集合，是群但不是环。

注意，这里说的加减乘除，其实是一类具有特定性质（如交换律等）运算的代称，并不是特指。

就像计算机里面，加减乘除是可以重载的，大于小于也是可以重载的，这样就有了统一的算法，而不用对每个特定的场景去实现具体的算法，比如排序函数sort函数。

数学也是一样，研究的总是统一的规律，而不是特例。

域的特征：

 假设p是最小的正整数， 使得p个1相加等于0， 那么p就称为域的特征。 特别的， 如果任何多个1相加都不会是0， 那么特征p就定义为0。

可以证明， 如果域的特征p>0，则p一定是素数。

有限域：

如果域F只包含有限个元素，则称其为有限域。有限域中元素的个数称为有限域的阶。

每个有限域的阶必为素数的幂，即有限域的阶可表示为pⁿ，记为GF(pⁿ)

素数域：

当n=1时，存在有限域GF（p），也称为素数域。

尺规作图与代数数

尺规作图的经典定理：尺规作图能且只能做加减乘除和开平方这5个运算。

1，作图公法

（1）通过两个已知点可作一直线；
（2）已知圆心和半径可作一个圆；
（3）若两已知直线相交，可求其交点；
（4）若已知直线和一已知圆相交，可求其交点；
（5）若两已知圆相交，可求其交点。

2，如何理解尺规作图作出一个实数a?

给定一个线段，作出一个线段，使得长度是它的a倍

3，尺规作图的定理一

如果尺规作图可以作出a，b，那么就可以做出a+b, a-b，a*b，a/b，sqrt(a)，即可以作出加减乘除和开平方。

证明：加减是显然的，而乘除和开平方都可以用四点共圆的作图法作出来。

4，尺规作图的定理二

尺规作图能作出的数，一定是用整数就行加减乘除和开平方运算可以得到的。

证明：利用解析几何中，直线和圆的一般式，可以推出来。

5，尺规作图的问题分类

尺规作图的问题，我理解可以分为四类：长度、面积、角度、找点。

进一步，所有的问题都可以归结为作出某个长度或者某个角度。

再进一步，能不能作出角度x等价于能不能作出cos x这个数，所有所有的问题都可以归结为作出某个长度。

6，尺规作图能作出的长度

首先，所有的有理数都是可以作出来的，其次，尺规作图能作出的长度都属于根式数，但不是所有的根式数都可以做出来。

归纳一下，整数 属于 有理数 属于 尺规作图能作出的长度数 属于 根式数 属于 代数数 属于 实数 属于 复数。

最后，不得不提一下这个游戏：

欧几里得几何  https://blog.csdn.net/nameofcsdn/article/details/78669573