伽罗瓦理论（1）

写在开头

写这个篇章，主要目的有两个：一个是重新理解这一精妙的理论；另一个是给想了解这一理论的爱好者一个友好的入口。参考文献为J.S.Milne的讲义。

这个篇章的内容，以伽罗瓦的可解性定理为核心，以讲清楚五次以上一般多项式方程不是根式可解的为目标，力求逻辑清晰，通俗易懂，简明扼要（持续改进）。包含以下：

1. 域的扩张，极小多项式
2. 多项式的分裂域，重根
3. 正规扩张，可分扩张
4. 伽罗瓦群，伽罗瓦扩张
5. 群的阶和扩张次数的关系
6. 伽罗瓦扩张的等价刻画
7. 伽罗瓦基本定理
8. 可解性定理
9. 一般五次以上方程不是根式可解的
10. 伽罗瓦群的计算和方程的可解性

伽罗瓦理论（2）
伽罗瓦理论（3）
伽罗瓦理论（4）

预备知识：此篇假定读者了解群环域的基本概念以及相关的符号约定和基本性质。不了解的可以翻翻参考文献。

首先讲一些基本概念。

域的扩张，极小多项式

两个域，一个包含另一个，则称大的域为小的域的扩域，或者扩张。对于大域中的元素，一个刻画就是极小多项式，即小域上的全体首项系数为1并以此元素为零点的非零多项式中次数最小的那个多项式。如果这样的多项式不存在，则称此元素为小域上的超越元，否则为代数元。

定理（单扩张） 设$E\supset F$为扩域，$f(x)\in F[x]$为$a\in E$的极小多项式，则$f(x)$为不可约多项式，并且有域同构
$$F[a]\simeq F[x]/(f(x))$$

为了理解以上，我们举例子说明。

• $\mathbb{C}\supset \mathbb{Q}$ 为扩域
• $\sqrt{2}\in \mathbb{C}$ 在$\mathbb{Q}[x]$上的极小多项式为$x^2-2$
• $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]\simeq \mathbb{Q}[x]/(x^2-2)$

证明 作环的满同态$\sigma :F[x]\to F[a],x\mapsto a$. 若$g(x)\in Ker\sigma$，带余除法$g(x)=f(x)q(x)+r(x)$，有$r(x)=0$或者$degr(x)<degf(x)$.由于$f(x)$次数极小，所以$r(x)=0$，从而$g(x)\in (f(x))$。于是得到同构。

多项式的分裂域，重根

如果多项式在大域上面可以分解为常数和一些一次多项式$x-{\alpha }_i$的乘积，则称多项式在大域上分裂，并称由小域和这些一次多项式给出的大域中的元素${\alpha }_i$生成的扩域为此多项式的一个分裂域。

一个问题是，对于非常数多项式，分裂域存在吗？首先把多项式分解为不可约多项式的乘积，然后对于不可约多项式，可以构造商域作为扩域包含它的一个根，在这个扩域上再分解，再构造商域作为扩域，这样用归纳法就可以证明分裂域是存在的。

具体而言，$f(x)\in F[x]-F$，对次数进行归纳。一次多项式，分裂域就是$F$。如果大于一次，取一个不可约因子$g(x)$。$F_1=F[x]/(g(x))$是包含$F$的域，并且$\bar{x}=x+(g(x))\in F_1$是$f(x)$的一个根。在$F_1[x]$上，有分解$f(x)=(x-\bar{x})f_1(x)$，$f_1(x)$的次数更小。根据归纳假设，$f_1(x)$有分裂域$E\supset F_1$。于是，$E$是$f(x)$的分裂域。

另一个问题更加微妙些，分裂域好像并不是唯一的，那么在什么意义下是唯一的呢？应该是同构的，而且这个同构还可以保证小域中的元素不动。直觉上，这个同构只需要把多项式的根进行置换就行了。

进一步，这样的同构有多少个？感觉应该跟根的合法置换个数相关。如果多项式在分裂域中分裂出来的一次多项式有重复出现的，则称对应的根为重根，对应的重复次数为根的重数。在不同的分裂域中，多项式的重根个数和重数是不变的吗？

定理（分裂域） $f(x)\in F[x]-F$的分裂域存在，并且任何两个分裂域间有$F$-同构。这样的$F$-同构个数不超过分裂域的扩张次数。如果多项式没有重根，则两者相等。

照旧举例子。

• $a=\sqrt{2}+\sqrt{3}\in \mathbb{C}\supset \mathbb{Q}$的极小多项式为
  $$f(x)=(x-(\sqrt{2}+\sqrt{3}))(x-(-\sqrt{2}+\sqrt{3}))(x-\sqrt{2}-\sqrt{3})(x-(-\sqrt{2}-\sqrt{3}))\in \mathbb{Q}$$
  此多项式的分裂域为$E=\mathbb{Q}[\sqrt{2},\sqrt{3}]$，分裂域的扩张次数为$[E:\mathbb{Q}]=4$
• $E$的$\mathbb{Q}$-同构的个数为4，对应为$\sqrt{2}\mapsto -\sqrt{2}$和$\sqrt{3}\mapsto -\sqrt{3}$的组合。

证明 对多项式的次数使用归纳法证明下述命题：

$F_1\stackrel{\sim }{\to }{F}_2:f_1(x)\mapsto f_2(x)(F_1[x]\simeq F_2[x])$，$E_i$为$f_i(x)\in F_i[x]$的分裂域，则前面的同构可以扩充为同构$E_1\stackrel{\sim }{\to }{E}_2$.

如果次数为1，则分裂域就是本身。如果次数大于1，设${\alpha }_i\in E_i$为$f_i(x)$的一个根并且${\alpha }_i$的极小多项式$g_i(x)$在同构下对应。于是根据归纳假设，同构$F_i^{\prime }=F_i[x]/(g_i(x))\simeq F_i[{\alpha }_i]\subset E_i:x\mapsto {\alpha }_i$扩充为同构$E_i^{\prime }\simeq E_i$，同构$F_1^{\prime }\simeq F_2^{\prime }$扩充为同构$E_1^{\prime }\simeq E_2^{\prime }$.将这三个同构复合起来，就得到了同构$E_1\simeq E_2$.

$F$-同构数目的估计，也是使用归纳法证明：

$F_1\stackrel{\sim }{\to }{F}_2:f_1(x)\mapsto f_2(x)(F_1[x]\simeq F_2[x])$，$E_i$为$f_i(x)\in F_i[x]$的分裂域，则前面的同构扩充为同构$E_1\stackrel{\sim }{\to }{E}_2$的方式不超过$[E_i:F_i]$，并且当多项式没有重根时取等号.

如果次数为1，则都是1. 如果次数大于1. 设$\sigma :E_1\simeq E_2$为一个扩充的同构,$f_1(x)=a{\prod }_{i=1}^m(x-{\alpha }_i),E_1=F_1[{\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_m]$. 设${\alpha }_1\notin F_1$，极小多项式为$g_1(x)$，则$\sigma (g_1)(\sigma ({\alpha }_1))=\sigma (g_1({\alpha }_1))=0$，于是$\sigma ({\alpha }_1)$的可能性数目为$\sigma (g_1)$的不同根的数目，这个数不超过$deg\sigma (g_1)=[F_2[x]/(\sigma (g_1)):F_2]=[F_1[x]/(g_1(x)):F_1]=[F_1[{\alpha }_1]:F_1]$，并且当$f_1(x)$没有重根时相等。固定一种选择$\sigma ({\alpha }_1)$，考虑多项式$f_1(x)/(x-{\alpha }_1)\in F_1[{\alpha }_1][x]$，由同构$F_1[{\alpha }_1]\simeq F_2[\sigma ({\alpha }_1)]$扩张为$E_1\simeq E_2$的方式不超过$[E_1:F_1[{\alpha }_1]]$，并且在$f_1(x)/(x-{\alpha }_1)$无重根时相等，从而$\sigma$的选择方式不超过$[E_1:F_1]$，并且在$f_1(x)$无重根时相等。