关系数据库

在关系数据库中，关系的定义为：给定一组域D1，D2，…，Dn，这些域中可以使相同的域。D1，D2，…，Dn的笛卡尔积D1×D2×…×Dn的子集叫做在域D1，D2，…，Dn上的关系，表示为R（D1，D2，…，Dn）。这里R表示关系的名字，n是关系的目或度。

1. 属性 attribute
2. 域 domain：每个属性的取值范围所对应一个值的集合，称为该属性的域。
3. 目或度 degree
4. 候选码 candidate key：若关系中的某一属性或属性组的值能唯一的标识一个元组，则称该属性或属性组为候选码。
5. 主码 primary key ：或称为主键，若一个关系有多个候选码，则选定其中一个为主码。
6. 主属性 prime attribute：包含在任何候选码中的诸属性称为主属性。不包含在任何候选码中的属性称为非主属性。
7. 外码 foreign key：如果关系模式$R$中的属性或属性组非该关系的码，但它是其他关系的码，那么该属性集对关系模式$R$而言是外码
8. 全码 all key：关系模型的所有属性组是这个关系模式的候选码，称为全码。

设$D_1,D_2,D_3,\cdots ,D_n$为任意集合，定义$D_1,D_2,D_3,\cdots ,D_n$的笛卡儿积为：
D 1 × D 2 × D 3 × ⋯ × D n = { ( d 1 , d 2 , d 3 , ⋯   , d n ) ∣ d i ∈ D i , i = 1 , 2 , 3 , ⋯ n } D_1 \times D_2 \times D_3 \times \cdots \times D_n = \{(d_1,d_2,d_3,\cdots,d_n)|d_i \in D_i,i=1,2,3,\cdots n\} D1​×D2​×D3​×⋯×Dn​={(d1​,d2​,d3​,⋯,dn​)∣di​∈Di​,i=1,2,3,⋯n}
其中集合中的每一个元素$(d_1,d_2,d_3,\cdots ,d_n)$叫做一个$n$元组（$n$-tuple，即$n$个属性的元组），元组中的每一个值$d_i$叫做元组一个分量。若$D_i(i=1,2,3,\cdots ,n)$为有限集，其基数（Cardinal Number，元组的个数）为$m_i(i=1,2,3,\cdots ,n)$，则$D_1\times D_2\times D_3\times \cdots \times D_n$的基数$M$为：$M=\prod _{i=1}^n{m}_i$。

$D_1\times D_2\times D_3\times \cdots \times D_n$的子集叫做在域$D_1,D_2,D_3,\cdots ,D_n$上的关系，记为$R(D_1,D_2,D_3,\cdots ,D_n)$，称关系$R$为$n$元关系。
关系中属性的个数称为元数，元组的个数称为基数。

关系的描述称为关系模式，可以形式化地表示为：
$$R(U,D,dom,F)$$
其中$R$表示关系名，$U$是组成该关系的属性名集合，$D$是属性的域，$dom$是属性向域的映像集合，$F$为属性间数据的依赖关系集合。
通常将关系模式简记为：
$$R(U)或R(A_1,A_2,A_3,\cdots ,A_n)$$
其中，$R$为关系名，$A_1,A_2,A_3,\cdots ,A_n$为属性名或域名，属性向域的映像常常直接说明属性的类型、长度。通常在关系模式主属性加下划线表示该属性为主码属性。

关系的完整性约束共分为三类：实体完整性、参照完整性（也称引用完整性）和用户定义完整性。

1. 实体完整性 entity integrity。规定基本关系$R$的主属性$A$不能取空值。
2. 参照完整性 referential integrity。
3. 用户定义完整性 user defined integrity。

五种基本的关系代数运算

五种基本的关系代数运算包括并、差、笛卡儿积、投影和选择。

1. 并 Union

关系$R$与$S$具有相同的关系模式，即$R$与$S$的元数相同（结构相同）。关系$R$与$S$并由属于$R$或属于$S$的元组构成的集合组成，记作$R\cup S$，其形式定义如下：
R ∪ S = { t ∣ t ∈ R ∨ t ∈ S } R\cup S=\{t|t \in R \vee t \in S\} R∪S={t∣t∈R∨t∈S}

2. 差 Difference

关系$R$与$S$具有相同的关系模式，关系$R$与$S$的差是由属于$R$但不属于$S$的元组构成的集合，记作$R-S$，其形式定义如下：
R − S = { t ∣ t ∈ R ∧ t ∈ S } R - S=\{t|t \in R \wedge t \in S\} R−S={t∣t∈R∧t∈S}

3. 广义笛卡儿积 Extended Cartesian Product

两个元素分别为$n$目和$m$目的关系$R$和$S$的广义笛卡儿积是一个$(n+m)$列的元组的集合，元组的前$n$列是关系$R$的一个元组，后$m$列是关系$S$的一个元组，记作$R\times S$，其形式定义如下：
R × S = { t ∣ t = < t n , t m > ∧ t n ∈ R ∧ t m ∈ S } R \times S = \{t|t=< t^n,t^m > \wedge t^n \in R \wedge t^m \in S\} R×S={t∣t=<tn,tm>∧tn∈R∧tm∈S}
$$<t^n,t^m>$$意为元组$t^n$和$t^m$拼接成的一个元组。

4. 投影 Projection

投影运算是从关系的垂直方向进行运算，在关系$R$中选择出若干属性列$A$组成新的关系，记作${\pi }_A(R)$，其形式定义如下：
π A ( R ) = { t [ A ] ∣ t ∈ R } \pi_A(R)=\{t[A]|t \in R\} πA​(R)={t[A]∣t∈R}

5. 选择 Selection

选择运算是从关系的水平方向进行运算，是从关系$R$中选择满足给定条件的诸元组，记作${\sigma }_F(R)$，其形式定义如下：
σ F ( R ) = { t ∣ t ∈ R ∧ F ( t ) = T r u e } \sigma_F(R)=\{t|t \in R \wedge F(t) = True\} σF​(R)={t∣t∈R∧F(t)=True}
其中，$F$中的运算对象是属性名（或列的序号）或常数，运算符、算术比较运算符和逻辑运算符。
${\sigma }_{1\ge 6}(R)$表示选取$R$关系中第一个属性值大于第六个属性值的元组；
${\sigma }_{1{\ge }^{\prime }{6}^{\prime }}(R)$表示选取$R$关系中第一个属性值大于6的元组；

6. 交 Intersection

关系$R$与$S$具有相同的关系模式，关系$R$与$S$的交是由属于$R$同时又属于$S$的元组构成的集合，关系$R$与$S$的交记作$R\cap S$，其形式定义如下：
R ∩ S = { t ∣ t ∈ R ∧ t ∈ S } R \cap S = \{t| t\in R \wedge t \in S\} R∩S={t∣t∈R∧t∈S}
$R\cap S=R-(R-S)$或者$R\cap S=S-(S-R)$

7. 连接 join

连接分为$\theta$连接、等值连接及自然连接三种。连接运算是从两个关系$R$和$S$的笛卡儿积中选取满足条件的元组。因此，可以认为笛卡儿积是无条件连接，其他的连接操作认为是有条件连接。

1. $\theta$连接
   $\theta$连接是从$R$与$S$的笛卡儿积中选取属性间满足一定条件的元组。其形式定义如下：
   R ⋈ X θ Y S = { t ∣ t = < t n , t m > ∧ t n ∈ R ∧ t m ∈ S ∧ t n [ X ] θ t m [ Y ] } R \mathop {\bowtie}\limits_{X \theta Y} S = \{t|t=<t^n,t^m > \wedge t^n \in R \wedge t^m \in S \wedge t^n[X] \theta t^m[Y]\} RXθY⋈​S={t∣t=<tn,tm>∧tn∈R∧tm∈S∧tn[X]θtm[Y]}
   其中：${}^{\prime }X\theta Y^{\prime }为连接的条件$，$\theta$是比较运算符，$X$和$Y$分别为$R$和$S$上度数相等，且可比的属性组。$t^n[X]$表示$R$中$t^n$元组的相应于属性$X$的一个分量。$t^m[Y]$表示$S$中$t^m$的相应于属性$Y$的一个分量。需要说明的是：
   $\theta$连接也可以表示为：
   R ⋈ i θ j S = { t ∣ t = < t n , t m > ∧ t n ∈ R ∧ t m ∈ S ∧ t n [ i ] θ t m [ j ] } R \mathop {\bowtie}\limits_{i \theta j} S = \{t|t=<t^n,t^m > \wedge t^n \in R \wedge t^m \in S \wedge t^n[i] \theta t^m[j]\} Riθj⋈​S={t∣t=<tn,tm>∧tn∈R∧tm∈S∧tn[i]θtm[j]}
   其中：$i=1,2,3\cdots ,n,j=1,2,3,\cdots ,m$，${}^{\prime }i\theta j^{\prime }$的含义为从两个关系$R$和$S$中选取$R$的第$i$列和$S$的第$j$列满足$\theta$运算的元组进行连接。
   $\theta$连接可以由基本的关系运算笛卡儿积和选取 运算导数。因此$\theta$连接可表示为：
   $$R\underset{X\theta Y}{\bowtie }S={\sigma }_{X\theta Y}(R\times S)或R\underset{i\theta j}{\bowtie }={\sigma }_{i\theta (i+j)}(R\times S)$$
2. 等值连接 Equijoin
   当$\theta$为“$=$”时，称之为等值连接，记为$R\underset{X=Y}{\bowtie }S$。其形式定义如下：
   R ⋈ X = Y S = { t ∣ t = < t n , t m > ∧ t n ∈ R ∧ t m ∈ S ∧ t n [ X ] = t m [ Y ] } R \mathop {\bowtie}\limits_{X = Y} S = \{t|t=<t^n,t^m > \wedge t^n \in R \wedge t^m \in S \wedge t^n[X] = t^m[Y]\} RX=Y⋈​S={t∣t=<tn,tm>∧tn∈R∧tm∈S∧tn[X]=tm[Y]}
3. 自然连接 Natural Join
   自然连接是一种特殊的等值连接，它要求两个关系中进行比较的分量必须是相同的属性组，并且在结果集中将重复属性列去掉。
   若$t^n$表示$R$关系的元组变量，$t^m$表示$S$关系的元组变量；$R$和$S$具有相同的属性组$B$，且$B=(B_1,B_2,\cdots ,B_k)$；并假定$R$关系的属性为$A_1,A_2,\cdots ,A_{n-k},B_1,B_2,\cdots ,B_k$，$S$关系的属性为$B_1,B_2,\cdots ,B_k,B_{k+1},B_{k+2},\cdots ,B_m$；为$S$的元组变量$t^m$去掉重复属性$B$所组成的新元组变量为$t^{m^{\ast }}$。自然连接可以记为$R\bowtie S$， 其形式定义如下：
   R ⋈ S = { t ∣ t = < t n , t m ∗ > ∧ t n ∈ R ∧ t m ∈ S ∧ R . B 1 = S . B 1 ∧ R . B 2 = S . B 2 ∧ ⋯ ∧ R . B n = S . B n } R \bowtie S=\{t|t=<t^n,t^{m^*} > \wedge t^n \in R \wedge t^m \in S \wedge R.B_1 = S.B_1 \wedge R.B_2 = S.B_2 \wedge \cdots \wedge R.B_n = S.B_n \} R⋈S={t∣t=<tn,tm∗>∧tn∈R∧tm∈S∧R.B1​=S.B1​∧R.B2​=S.B2​∧⋯∧R.Bn​=S.Bn​}
   自然连接可以由基本的关系元素笛卡儿积和选取运算导出，因此自然连接可表示为：
   $R\bowtie S={\prod }_{A_1,A_2,\cdots ,A_{n-k},R.B_1,R.B_2,\cdots ,R.B_k,B_{k+1},B_{k+2},\cdots ,B_m}({\sigma }_{R.B_1=S.B_1\wedge R.B_2=S.B_2\wedge \cdots \wedge R.B_k=S.B_k}(R\times S))$

8. 除 Division

9.广义投影 Generalized Projection

10. 外连接 Outer Jion

11. 聚集函数

设$R(U)$是属性集$U$上的关系模式，$X、Y$是$U$的子集。若对$R(U)$中的任何一个可能的关系$r$，$r$中不可能存在两个元组在$X$上的属性值相等，而在$Y$上的属性值不等，则称$X$函数决定$Y$或$Y$函数依赖于$X$，记作：$X\to Y$。

如果$X\to Y$，但$Y⊈X$，则称$X\to Y$是非平凡的函数依赖。
如果$X\to Y$，但$Y\subseteq X$，则称$X\to Y$是平凡的函数依赖。

函数依赖是语义范畴的概念，我们只能根据语义确定函数依赖。

在$R(U)$中，如果$X\to Y$，并且对于$X$的任何一个真子集$X^{\prime }$，都有$X^{\prime }$不能决定$Y$，则称$Y$对$X$完全函数依赖，记作：$X\stackrel{f}{\to }Y$。如果$X\to Y$，但$Y$不完全函数依赖于$X$，则称$Y$对$X$部分函数依赖，记作：$X\stackrel{p}{\to }Y$。部分函数依赖也称局部函数依赖。

在$R(U,F)$中，如果$X\to Y,Y⊈X,Y\nrightarrow X,Y\to Z$，则称$Z$对$X$传递依赖。

设$K$为$R(U,F)$中的属性组合，若$K\to U$，且对于$K$的任何一个真子集$K^{\prime }$，都有$K^{\prime }$不能决定$U$，则$K$为$R$的候选码，若有多个候选码，则选一个作为主码。

若$R(U)$中的属性或属性组$X$非$R$的码，但$X$是另一个关系的码，则称$X$是$R$的外码或称外键。

若关系模式$R(U)$中，$X、Y、Z$是$U$的子集，并且$Z=U-X-Y$。当且仅当对$R(U)$中的任何一个关系$r$，给定一对$(x,z)$值，有一组$Y$的值，这组值仅仅决定于$x$值而与$z$无关，则称”$Y$多值依赖于$X$“或”$X$多值决定$Y$“成立。记为：$X\to \to Y$。
多值依赖具有如下性质：

• 多值依赖具有对称性。即若$X\to \to Y$，则$X\to \to Z$，其中$Z=U-X-Y$。
• 多值依赖的传递性。即若$X\to \to Y,Y\to \to Z$，则$X\to \to Z-Y$
• 函数依赖可以看成是多值依赖的特殊情况。
• 若$X\to \to Y,X\to \to Z$，则$X\to \to YZ$。
• 若$X\to \to Y,X\to \to Z$，则$X\to \to Y\cap Z$。
• 若$X\to \to Y,X\to \to Z$，则$X\to \to Z-Y$。

1NF 第一范式

若关系模式$R$的每一个分量是不可再分的数据项，则关系模式$R$属于第一范式，记为$R\in$ 1NF

2NF 第二范式

若关系模式$R\in 1NF$，且每一个非主属性完全依赖于码，则关系模式$R\in$ 2NF。换句话说，当1NF消除了非主属性对码的部分函数依赖，则成为2NF。
包含在任何一个候选码中的属性叫做主属性，否则叫做非主属性。

3NF 第三范式

若关系模式$R(U,F)$中若不存在这样的码$X$，属性组$Y$及非主属性$Z(Z⊈Y)$使得$X\to Y,(Y\nrightarrow X)Y\to Z$成立，则关系模式$R\in$ 3NF。
即当2NF消除了非主属性对码的传递函数依赖，则称为3NF。

BCNF 巴克斯范式

关系模式$R\in 1NF$，若$X\to Y$，且$Y⊈X$，$X$必含有码，则关系模式$R\in$ BCNF。
也就是说，当3NF消除了主属性对码的部分函数依赖和传递函数依赖，则称为BCNF。
一个满足BCNF的关系模式，应有如下性质：

1. 所有非主属性对每一个码都是完全函数依赖；
2. 所有非主属性对每一个不好含它的码，也是不完全函数依赖；
3. 没有任何属性完全函数依赖于非码的任何一组属性。

4NF 第四范式