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RSS订阅原创 CINTA作业六：拉格朗日定理
1. 设G是群，H是G的子群。任取，则当且仅当 充分性： ∵，∴使，则，即 ∵，∴ 必要性： ∵，由群的封闭性可得，， ∴的逆元 可得 3. 如果G是群，H是群G的子群，且[G: H] = 2，请证明对任意的g ∈G，gH= Hg 若，则 若，则，∵[G: H] = 2，∴ 4. 如果群H是群G的真子群，即存在但是。请证明|H|≤|G|/2 ∵群H是群G的真子群，即存在但是， ∴群H在G上有若干个陪集，即[G: H] ＞= 2，由拉格朗日定理得[G: H]=|G|/|H|， ∴[
2021-12-30 23:27:45
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原创 CINTA作业二：GCD与EGCD
1、给出Bezout定理的完整证明 求证：a、b是非零整数，存在整数r、s使得gcd(a,b)=ar+bs 设s=gcd(a,b)，可知：s|a且s|b， 又∵r、s∈Z∗，则s|ar、s|bs， 易得d须为a和b的公约数的倍数， 又∵r、s∈Z+，d必为a和b最大公约数的倍数， 得证。 2、实现GCD算法的迭代版本 int gcd(int x, int y) { if (x < y) {swap(x, y);} int tep = 0; while (y != 0) {
2021-12-30 21:33:59
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原创 CINTA作业九：QR
1.证明命题 11.2 封闭性： 则，故 结合律： 则 单位元：1 逆元：，，使 2.使用群论的方法证明定理 11.1 构造一个映射为，从的定义可知这是一个满射， 由可证得是一个群同态。 令，构造一个标准同态， 由第一同构定理可得，则有 3.定义映射为。请证明这是一个满同态 默认p是一个奇素数，由定理11.1可得恰好有 (p-1)/2个模p的QR 和 (p-1)/2个模p的QNR，故映射是满射。由勒让德符号的性质得， 得证。 4.设 p 是奇素数，证明的所有生成
2021-12-13 23:54:31
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原创 CINTA作业八：CRT
1、手动计算 ，不允许使用电脑或者其他电子设备。 因为221=13*17，根据中国剩余定理可以构造以下关系：11↔(11,11)， 所以，又因为(5,5)↔5，故 2、运用 CRT 求解： x ≡ 8 (mod 11) ，x ≡ 3 (mod 19) a=8，b=3，p=11，q=19，n=pq=11*19=209 由egcd算法得 3、运用 CRT 求解： x ≡ 1 (mod 5) ，x ≡ 2 (mod 7)， x ≡ 3 (mod 9)， x ≡ 4 (mod ...
2021-12-06 23:57:19
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原创 CINTA作业七：同态
1.如果和是群G的正规子群，证明也是群G的正规子群。 g∈G，，，由封闭性可知，得证。 2.定义映射为。请证明是一种群同态当且仅当G是阿贝尔群。 证充分性： 因为是一种群同态，所以，即，即b*a=a*b。 所以G是阿贝尔群。 证必然性： 因为G是阿贝尔群，所以b*a=a*b，则 综上，得证。 3.证明：如果H是群G上指标为 2 的子群，则H是G的正规子群。 ， g∈H时，有gH=Hg=H； g∉H时，gH=Hg=G-H，均有gH=Hg； 得证H是G的正规子群。 4.证明：如果群
2021-11-17 09:22:27
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原创 CINTA作业五：循环群
1、请心算列举出群Z10的所有生成元。 由心算得的所有生成元为3、7。 2、群的有多少个生成元？已知3是其中一个生成元，请问9和10是否为生成元？ ϕ（16）=8个生成元。 由，则k=2，gcd(2,16)=2，则h=9的阶为8， 因此9不是生成元。 由，则k=3，gcd(3,16)=1，则h=10的阶为16， 因此10是生成元。 3、证明：如果群G没有非平凡子群，则群G是循环群。 如果群G中只有平凡子群，那么群G中任意一个非单位元元素a都能生成群G，因此群G为循环群。 故可以证明：..
2021-11-04 00:10:17
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原创 CINTA四:群、子群
1、证明命题6.6 因为G为群，且a,b,cG，所以存在，使得 又因为ba=ca，所以，即b=a 又因为ab=ac，同理b=c 2、证明命题6.7 因为G是群，则∀a,b G，有： （m-1次群运算）（n-1次群运算） （m+n-1次群运算） ∀m,nZ，变形得： （n-1次群运算） = = 得证 3、证明对任意偶数阶群G，都存在g∈G，g≠e且 因为群中任一阶大于2的元素和它的逆元的阶相等，且当一个元素的阶大于2时，其逆元和它本身不相等，即阶大于2的元素是成对的。所以偶数阶
2021-10-26 20:30:46
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原创 CINTA作业三：同余、模指数、费尔马小定理、欧拉定理
#1、实现求乘法逆元的函数，给定a和m，求a模m的乘法逆元，无解时请给出无解提示，并且只返回正整数。进而给出求解同余方程（ax = b mod m）的函数，即给定a，b，m，输出满足方程的x，无解给出无解提示。 代码如下： #include<iostream> using namespace std; //求乘法逆元 int cfny(int a, int m) { //由题意知a的乘法逆元为正整数，因此大于0小于m for (int i = 0; i < m; i++) .
2021-10-12 12:30:13
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原创 CINTA作业一、加减乘除
# 1、用C语言编程实现一种迭代版本的简单乘法 #include <iostream> using namespace std; int ddcc(int a, int b) { int m = 0; while (b > 0) { if (b & 1) { m += a; } a = a << 1; b = b >> 1; } ret
2021-09-28 23:29:25
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原创 CINTA学前作业一：课前准备
a、写一个插入排序的函数，即输入一个数组，完成排序。 void sort(int arr[], int length) { for (int i = 0; i < length-1; ++i) { if (arr[i+1] < arr[i]) { int temp = 0; temp = arr[i+1]; int j = 0; for (j = i; j >= 0 && arr[j] > temp; --j) {
2021-08-30 23:56:14
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