(HP)算法（数据结构）_hp算法-CSDN博客

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文章详细阐述了时间复杂度和空间复杂度的概念，包括如何计算时间复杂度，如何选取最优算法，以及常见排序算法如选择排序、冒泡排序、插入排序的时间复杂度。同时，讨论了链表与数组的区别，位运算的应用，以及递归算法的时间复杂度分析。此外，提到了堆排序、计数排序和基数排序等算法的空间复杂度。

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时间/空间复杂度

1，时间复杂度

数组在内存的空间是连续的，链表的空间是不连续的；所以数组arr[i]的时间复杂度是O(1)，想要找第n个数据，直接根据偏移量一下子找到了，不需要遍历；而链表由于不是连续的存储空间，想要找到第n个元素只能一个一个去遍历，跟链表中数据的体量有关系，所以时间复杂度是O(n)

加减乘除，位运算都是一个常数操作，时间复杂度都是O(1);

2，如何计算时间复杂度

根据数据体量得出一个（最差）算术操作的次数方程式，取这个方程式的最高阶项，并去掉它的系数，就是它的时间复杂度。

例如，将一个无序的数组排列成有序的数组，需要查询+比较+替换的总次数 = $aN^{^{2}}+bN+c$

所以这个算法的时间复杂度=O( $N^{^{^{2}}}$ )

3，如何选取时间复杂度

选取最高阶项简单的算法，如果两个最高阶项相同，不能直接通过比较常数项大小做取舍，因为算法中还包括其他的加减乘除不相同，只能实际去运行代码去测试哪个时间更短。

4，常见算法时间复杂度

选择排序：后面的数据与每一轮的第一个数据挨个比较。 O( $N^{2}$ )

冒泡排序：相邻的数据互相比较。 O( $N^{2}$ )

插入排序：后一个数据和所有前面的数据比较。O( $N^{2}$ )

插入排序最优时间复杂度：O(N)，所以插入比选择和冒泡速度快

二分法：O( $log{_2{}}^{n}$ )，即简写 O( ${log_{}}^{n}$ )

二分法不一定使用在有序数组中，无序数组也可以二分，比如寻找小部分区间。

递归算法：时间复杂度需要通过master公式计算

// 常见递归格式
process()
function process(){
  const a = process();
  return a
}

master公式：指递归公式中，所有子递归的规模相等的通用公式。

$T(N) = a T({\frac{N}{b}} )+ O(N^{d})$

如果 ${log_{b}}^{a}$ < d：时间复杂度= $O(N^{d})$

如果 ${log_{b}}^{a}$ > d：时间复杂度= $O(N^{log_{b}^{a}})$

如果 ${log_{b}}^{a}$ == d：时间复杂度= $O(N^{d}*log_{}^{N})$

比如二分法递归： $T(N) = 2T(\frac{N}{2})+O(1)$

归并排序：将一个数组排序，先二分法将左侧右侧分别排序，然后创建辅助空间➕两个指针，左边比右边小就将左边push到辅助空间，同时指针后移，以此类推。

由于归并排序使用到递归方法，其master公式得出 ${log_{b}}^{a}$ == d，所以时间复杂度 = $O(N^{d}*log_{}^{N})$

快速排序1.0：将一个数组的最后一个数作为中间值，大于该值划分到右侧，小于该值划分到左侧。然后左右再分别递归划分。

快速排序2.0：将一个数组的最后一个数作为中间值，大于该值划分到右侧，小于该值划分到左侧，等于该值划分到中间。然后左右再分别递归划分。（荷兰🇳🇱国旗法）

快速排序1.0和2.0的时间复杂度都是 O( $N^{2}$ )

快速排序3.0：随机选择一个数字做划分，由于这个数可能刚好是最大值，最小值，或者中位数，所以（二分法递归）快速排序的公式有很多种可能，比如：
$T(N) = 2T({\frac{N}{2}})+O(N)$
$T(N) = {\frac{1}{3}}T({\frac{N}{3}})+{\frac{2}{3}}T({\frac{2N}{3}})+O(N)$
.......

将所有公式等权重相加，得到时间复杂度： $O(N*log^{N})$

堆排序：将数组排序成一个大根堆，然后将最后一个值和第一个值做交换，然后堆长度（heapsize)减一。
将剩下的堆排序成一个大根堆，将最后一个值和第一个值做交换，然后堆长度（heapsize)减一。
周而复始，直到heapsize=0。

堆排序时间复杂度是： $O(N*log^{N})$

代码：

计数排序：遍历数组，准备一个容器，统计每个数据出现的次数，然后将数据push到新数组，时间复杂度O(N)，局限性：仅限小数据量。

基数排序：计数排序的升级版。因为计数排序统计容器（桶）的个数不确定，根据数据量而定。而基数排序桶的个数只与所排序数据的进制（2进制2个桶，10进制10个桶）有关。

4，空间复杂度

计算过程中，额外开辟的空间数。

比如选择排序，将一个无序的数组排列成有序的数组：

for(let i=0;i<len;i++){
  let min = 0;
  for(let j=i;j<len;j++){
     min = min>arr[j]?arr[j]:min
  }
}

在这个计算过程中，产生了一个额外的i，j，min变量，是有限个常数量的空间，空间复杂度=O(1)

运算符号

1，异或^

位运算，相同为0，不同为1；1001^0111 = 1110；异或运算也叫相加不进位运算。

异或的使用场景1：可以作为变量交换而不开辟一个新空间的操作

比如，a与b交换值：

a = a^b;
b = a^b;
a = a^b;

解析：

a = 23;b = 6;
a = a ^ b;  // 23 ^ 6
b = a ^ b; // 23 ^ 6 ^ 6 = 23
a = a ^ b; // 23 ^ 6 ^ 23 = 23 ^ 23 ^ 6 = 6

使用条件：

只允许交换不同内存空间的两个数，不允许交换同一个内存空间的一个数。

正确使用：a = arr[1]，b= arr[2]

错误使用：a = arr[1]， b = arr[1]；结果会导致该空间变量抹成0。

异或的使用场景2：可以从数组中找出唯一一个出现奇数次的数，时间复杂度O(n)，空间复杂度O(1)

const arr = [1,1,2,2,3]
let res = 0;
for(let i=0;i<arr.length;i++){
 res ^ = arr[i];
}
return res;

异或的使用场景3：可以从数组中找出两个出现奇数次的数，时间复杂度O(n)，空间复杂度O(1)

 // 假如结果是res_one和res_two
const arr = [1,2,2,3];
let two = 0;
let res_one = 0;

// 先得到res_one ^ res_two
for(let i = 0;i<arr.length;i++){
    two ^ = arr[i];  // two = res_one ^ res_two
}

// 再得到res_one ^ res_two最右侧的1
let only = two & (~two +1);

// 最右侧的1和数组所有的值与，一定能得到两个结果中的一个
for(let i = 0;i<arr.length;i++){
 if( (only & arr[i]) === only ){
     res_one ^ = arr[i];
 }
}

// 这是另外一个结果。
let res_two = two ^ res_one;

2，取反 ~

~10010 = 01101

3，与 &

两个值都是真结果为真，其余都会假。1 & 1 = 1，1 & 0 = 0， 0 & 0=0

使用场景：取一个数最右侧的1，比如10110100最右侧的1是100110100

let. a = 10010;
// 取a最右侧的1；
let b = a & (~a + 1); // 10010 & (01101 + 1) = 10010 & 01110 = 00010

4，移位>>

二进制位运算

右移：表示除2

左移：表示乘2求数组中点防止溢出：

const mid = (arr[j] +  arr[i] ) / 2
//可以修改成： 
const mid = arr[i] + ( (arr[j]- arr[i])>>1 )

测试方法

1，对数器

解决一个问题有两种方法，方法a和方法b，其中方法a更优秀，想要测试一下是否编写正确，可以输入相同的测试用例，同时运行方法a和方法b，假如二者得出的结果始终一致，就是对的。

2，比较器（重载运算符）

编程语言提供的排序函数sort，有正排序（从小到大）也有倒排序。其中第一个参数是需要排序的数组，第二个参数就是比较器。

即，人为的给出一个条件，用于判断哪个数据该放在前面。

比较器返回负数则第一个数放前面，返回正数第二个数放前面。

function student(name,age){
  this.name = name;
  this.age = age;
}

let arr = [new student('a',12),  new student('b',20)]
const sortFunc= Array.sort(arr, new condition());

function condition(a,b){ //比较策略
 return a.age-b.age
}

数据结构

1，链表

根据1可以得出，如果只涉及改、查数据，使用数组速度快；如果涉及增、删使用链表更快。

链表和数组一样，都是地址引用。所以以下代码会导致原来链表改变：

// 已知一个链表node，头节点是head
const newNode = new ListNode(0,head);
newNode.next = newNode.next.next; //该行代码将node链表的第二个节点给删除了

2，堆

堆也是完全二叉树。堆分为大根堆（每个小树里面最大的值是根），小根堆（每个小树里面最小的值是根）。

堆在硬件存储中是以数组的形式存储的，数组是一个连续的存储空间，连续的存储空间如何形成二叉树结构？实际上二叉树的父子节点之间使用数组下标来表示，有这样的对应关系：

数组下标：0，1，2，3，4，5，6；

树结构：

那么父子节点之间有这样的对应关系，一个节点的下标是i，则其左子节点下标是2*i+1，其右子节点下标是2*i+2。同理i位置的父节点=(i-1)/2。比如1位置的左子节点=2*1+1=3

即，堆是以完全二叉树的形式在数组中存储的结构。

堆相关的三种题型：

向大根堆中push一个数字，重新排序成大根堆。（heapinsert)
修改大根堆中某个下标的数字，重新排序成大根堆。(heapify)
删除大根堆中某个下表的数字，重新排序成大根堆。(heapify)

由于二叉树的高度与数字长度N的关系：H = logN，以上三种题型算法事件复杂度就是logN

堆排序就是heapinsert加heapify的过程。

3，二叉树

种类：满二叉树，完全二叉树，二叉搜索树，平衡二叉搜索树(map,set数据结构的底层原理）
存储方式：链式存储，线性存储
构造一个二叉树：

function Node(val,left,right){
   this.val=val;
   this.left=left;
   this.right=right;
}

const a = new Node(1,null,null);
a.left = new Node(2);
a.right = new Node(3);

搜索方式：

深度优先搜索(递归）：前，中，后序遍历
广度优先搜索

算法思维基础

1，回溯算法

回溯一般伴随着递归。

回溯能解决的问题：组合，切割，子集，排列，棋盘

所有的回溯都可以抽象为二叉树的结构：树的宽度是for循环的次数，树的深度是递归次数

模板：

function loop(){
if(终止条件){
收集结果；
return
}
for(集合数组）{
处理单层节点；
递归操作；
回溯操作；
}
return;
}

回溯三部曲：确定递归的参数和返回值、确定终止条件，单层搜索

注意点：

1，回溯法的递归值一般是没有返回值的(void)
2，递归必须有个终止条件，在终止条件中一般回收结果，然后return。（一般的在子集问题中在每个子节点中回收结果，除了子集问题，其余4个问题是在终止条件中回收结果。）
3，接下来一般是for循环。（for循环用于遍历数组的每个元素）
4，其中的递归操作用于实现嵌套for循环。应该嵌套多少层for循环，要在if结束条件中去做决定
5，最后结束for循环执行return的操作。

经典例题：leetcode第77题组合，leetcode第46题全排列

回溯算法解决组合问题的关键点是for循环的开始位置，一般取一个动态的startIndex，因为组合不包含顺序，顺序不同结果是一样的。[1,2]=[2,1]

回溯算法解决排列问题的关键点是for循环的开始位置始终是0，因为排列是包含顺序的，顺序不同算不同的结果（[1,2]不等于[2,1]）。另外排列需要一个辅助used数组用来记录原数组哪些数字是被使用过的，used=[1,0,1]就表示1和3被使用了，还剩下2可以用。

2，动态规划

解决的题型：斐波那契数列，爬楼梯，背包问题，打家劫舍，股票买卖，子序列问题，编辑距离问题

动态规划解题核心步骤：
确定dp[i] 数组以及下标的含义（dp[i]表示第i个台阶有dp[i]种方法）
确定递推公式 (dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2])
dp数组如何初始化（dp[1]=1,dp[2]=1)
遍历顺序（从前往后，还是从后往前遍历）
打印dp数组（为了检查代码到底哪里写错了）

3，递归：

解决题型：括号生成

递归三部曲：