(wqs二分)CF739E Gosha is hunting

### 动态规划中的凸优化 动态规划（Dynamic Programming, DP）是一种通过分解子问题来解决复杂问题的方法。然而，在某些情况下，标准的动态规划方法可能效率较低，因此引入了凸优化技术以加速计算过程。当状态转移方程具有单调性和凸性时，可以利用这些性质进一步减少时间复杂度。 #### 凸优化的核心思想 如果一个问题的状态转移函数满足某种形式的凸性条件，则可以通过维护决策点集合的方式降低每次更新的时间开销。具体来说，对于形如 \( dp[i] = \min_{j} (dp[j] + cost(i,j)) \) 的状态转移方程，其中 \( cost(i,j) \) 是关于 \( j \) 单调或者呈现特定形状的函数，那么可以用斜率优化等技巧提高性能[^1]。 ```python def convex_optimization_dp(n, costs): """ 使用凸优化处理动态规划问题的一个简单例子。 参数: n: 状态数量 costs: 成本数组 返回: 最优解的结果列表 """ dp = [0] * (n + 1) deque = [] for i in range(1, n + 1): while len(deque) >= 2 and slope(deque[-2], deque[-1]) <= -costs[i]: deque.pop() k = deque[0] dp[i] = dp[k] + costs[i] * (i - k) while len(deque) >= 2 and cross_product(deque[-2], deque[-1], i) <= 0: deque.pop() deque.append(i) return dp[n] def slope(x, y): """ 计算两点之间的斜率 """ return (f(y) - f(x)) / (y - x) def cross_product(a, b, c): """ 判断三点共线情况下的叉积方向 """ return (b-a)*(g(c)-g(b))-(c-b)*(g(b)-g(a)) ``` --- ### WQS二分算法详解 WQS二分（Weighted Queue Sliding Binary Search）主要用于求解带有额外约束条件的最优化问题。它通常应用于组合优化领域，尤其是涉及分配资源或物品的情况下。其核心在于调整目标函数中的权重参数，使得最终方案既满足约束又达到全局最优。 #### 实现细节 假设我们有一个背包容量为C的商品集S={a_1,a_2,...,a_n},每件商品有重量w_i和价值v_i，并且存在一个附加限制——最多只能选K件商品。此时可以直接采用如下策略： 1. 定义辅助变量λ作为惩罚因子； 2. 构造新的效用函数F'(x)=Σ(v_i-w_i*λ)，并尝试最大化该表达式的值； 3. 调整λ直至选出恰好k个元素为止； 这种方法能够有效应对多种变体问题，比如多重背包、区间覆盖等问题。 ```python from bisect import insort_right def wqs_binary_search(items, capacity, max_count): low, high = min(item['weight'] for item in items), sum(item['value']/item['weight'] for item in items) def check(lambda_val): total_weight = 0 count = 0 sorted_items = sorted((item['value'] - lambda_val * item['weight'], idx) for idx,item in enumerate(items)) res = [] current_sum = 0 for val,idx in reversed(sorted_items[:max_count]): if total_weight + items[idx]['weight']<=capacity: total_weight +=items[idx]['weight'] current_sum+=val+lambda_val*items[idx]['weight'] insort_right(res,(current_sum,-total_weight)) best=next(iter(res or [(float('-inf'),)]))[0] return best>=sum(itm['value']for itm in items[:len(res)])and(best,total_weight)==res[-1] eps = 1e-7 while abs(high-low)>eps: mid=(low+high)/2. flag=check(mid) if not flag: low=mid else: high=mid opt_lambda=(low+high)/2. _,solution=check(opt_lambda) return solution,opt_lambda ``` --- ### 带权二分的应用场景 带权二分本质上是对传统二分查找的一种扩展，允许我们在搜索过程中考虑不同选项的重要性差异。这种技术广泛用于图论、网络流等领域，特别是在寻找最小割/最大流路径时非常有用。 例如，在Dijkstra算法中加入优先级队列支持负边权的情况就是一种典型实例。通过对节点间距离赋予适当权重系数，我们可以更灵活地控制寻路行为，从而适应更多实际需求。 ```python import heapq def dijkstra_with_weights(graph, start_node, weight_func=lambda u,v,w:w): distances = {node : float('infinity') for node in graph} previous_nodes = {} pq = [] distances[start_node]=0 heapq.heappush(pq,[distances[start_node],start_node]) while pq: curr_dist,node=heapq.heappop(pq) if curr_dist>distances[node]: continue for neighbor,edge_weight in graph[node].items(): distance=curr_dist+weight_func(node,neighbor,edge_weight) if distance<distances[neighbor]: distances[neighbor]=distance previous_nodes[neighbor]=node heapq.heappush(pq,[distance,neighbor]) return distances,previous_nodes ``` ---