卡特兰数的概念

卡特兰数，一种有着特殊规律的数列，先用一道题来引出卡特兰数。

10个高矮不同的人，排成两排，每排必须是从矮到高排列，而且第二排比对应的第一排的人高，问有多少种排列方式?

我们可以先把这10个人从低到高排列，然后，选择5个人排在第一排，那么剩下的5个人肯定是在第二排。
用0表示对应的人在第一排，用1表示对应的人在第二排，那么含有5个0，5个1的序列，就对应一种方案。
比如0000011111就对应着
第一排:0 1 2 3 4 
第二排:5 6 7 8 9 
0101010101就对应着
第一排:0 2 4 6 8
第二排:1 3 5 7 9
所以，看到问题相应的转换为，这样的满足条件的01序列有多少个。
观察规律我们发现1的出现前边必须有一个相应的0对应，所以从左到右的所有序列中0的个数要一直大于1的个数。那这种数列有多少种排列方式呢？

那么我们从左往右扫描，第一次出现1的个数等于0的个数是第k位，那么在此之前，0的个数是大于1的个数的。在此之后，0的个数也是大于1的个数的。所以第k位0和1的个数第一次相等的排列有他们这两部分的个数相称的结果。那么所有的k有多少种，则把它们相加起来，就是最后的排列数。这是一个递归的问题。

即   a(n)=a(0)×a(n-1)+a(1)*a(n-2)+...+a(n-1)*a(0)

OK，问题已经解决。

卡特兰数非常经典，很多现实的问题都是卡特兰数，如合法的入栈出栈序列有多少种就是卡特兰数，为什么呢？

我们可以把0看成入栈操作，1看成出栈操作，即0的累计个数不小于1的排列有多少种。
还有很多其他的问题都是卡特兰数，如二叉树的个数，有序树的个数，多边形分成三角形的个数等。

卡特兰数的通项是c(2n, n)/(n+1)。

原文:http://blog.csdn.net/hongchangfirst/article/details/8766529

作者:hongchangfirst

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