三维空间中的圆与二维多段线_空间多段线-CSDN博客

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已知一段圆弧的起点、终点、弧度和法向，求此段圆弧的参数方程和参数区间。

圆的参数方程（字母所代表含义可参见【第六回】OCCT之Package Geom的曲线曲面参数方程解析）：

P(U) = O + R*Cos(U)*XDir + R*Sin(U)*YDir

这个问题主要应用于二维多段线中圆弧段的求解。在这里我先讲一下二维多段线的构造。

二维多段线

二维多段线由直线段和圆弧段构成，二维的意思是多段线是固定在某一个平面上的，这个平面可由用户任意指定。在ObjectARX中把这个平面称作OCS(object coordinate system, 对象坐标系)，两个参数可以确定这个OCS：平面的法向normal，WCS(world coordinate system, 世界坐标系)的原点到OCS的原点的距离，求法可参见 object coordinate systems，根据坐标系统构造转换矩阵（不包含缩放）。

下面来仔细说一下ObjectARX中二维多段线的参数。

二维多段线的参数有：P1（第1点坐标），...，Pn（第n点坐标）；Bulge_1，...，Bulge_n。其中Bulge_n是指第n点是圆弧的起点时，Bulge_n=tan(α/4)，其中α是圆弧的夹角（从起点到终点，右手坐标系），如果第n点是直线的起点时，Bulge_n=0。

为什么Bulge_n=tan(α/4)？因为三角函数tan(α)的一个周期是[-π/2, π/2]，而因为圆弧的角度区间为[-2π, 2π]，取Bulge_n=tan(α/4)，是将圆弧的角度压缩到[-π/2, π/2]，这样可以逆向求得α。

问题求解

如下图所示问题的俯视图和侧视图：

如上图所示，点sp和ep分别为圆弧的起点和终点，点mp为线段spep的中点，法向 normal朝向屏幕外，x'轴向为 epsp方向，y‘轴向为以点mp为起点， normal× x'方向。当弧度θ为ω＞π时，圆弧为arc2，点cp2为此圆弧的圆心；当弧度θ为0＜ψ＜π时，圆弧为arc1，点cp1为此圆弧的圆心。（ps: 圆弧的走势始终是以sp为起点，逆时针绕至终点ep。基于此，若给定的弧度θ＜0，则取绝对值|θ|，并将 normal反向。）

下面列出求解过程的伪代码（假设给定的弧度θ＞0）。

mp = (sp+ep)/2；
y’ = normalize(normal×spep)；
cp = mp + y’|spmp|cotθ/2；
radius = |spmp|/sinθ/2；
xAxis = normalize(cpsp)；
yAxis = normalize(normal×xAxis)。
区间为[0, θ]。