求max(0＜=x＜=1) x*e^(-x^2)_max┬0≤x≤1xe^ x^2-CSDN博客

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$原式=\max _{0\leq x\leq 1} xe^{-x^{2}}$

这里我的思路是：定义 $u(x)=xe^{-x^{2}},f(x)=x,g(x)=e^{-x^{2}}$ $\therefore u(x)=f(x)g(x),$ $u^{'} (x) = f^{'} (x) g (x) + f (x) g^{'} (x)$
则求出u(x)的导数u’(x)时，令u’(x)=0求出极值点。

1 求导

函数定义如上。根据公式则：
$u^{'} (x) = [f (x) g (x)]^{'} = f^{'} (x) g (x) + f (x) g^{'} (x),$ $f^{'} (x) = 1, 需计算 g^{'} (x)$ $令v(x)=-x^{2},g_2(x)=e^{x}则$ $g(x)=g_2(v(x)),g'(x)=v'(x)g_2'(v(x))$ $\therefore g'(x)=(-2x)(e^{-x^{2}})$ 然后计算u’(x):
$u^{'} (x) = 1 g (x) + x g^{'} (x)$ $e^{-x^{2}}+(-2x^{2})(e^{-x^{2}})$ $1-2x^{2})(e^{-x^{2}})$

2计算

令 $u'(x)=0,即(1-2x^{2})(e^{-x^{2}})=0$
这是一个乘法算式，我们可以得出，若u’(x)=0，则 $1-2x^{2}) or (e^{-x^{2}})=0$ 然而，有 $e^{x} > 0(x\in \R)$ 故只能是 $1-2x^{2}=0$
那么来解一下这个方程。

1公式

化为ax²+bx+c=0的形式： $2)x^{2}+1=0$ 则 $解:x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ $=\frac{0\pm\sqrt{8}}{-4}=\pm\frac{2\sqrt{2}}{4}$ 故得： $\therefore x_{0}=\frac{\sqrt{2}}{2},x_{1}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

2直接解

$解:-2x^{2}=-1$ $x^{2}=\frac{1}{2}$ $x=\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ $x=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}$ $\therefore x_{0}=\frac{\sqrt{2}}{2},x_{1}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

3答案

先前得到了两个解，那么
1）根据范围判定，舍掉负根
2）代入值计算，舍掉负根
3）再次利用导数

根据范围判定舍掉负根

$\because 0\leq x\leq 1 \therefore x\neq -\frac{\sqrt{2}}{2}$

代入值计算舍掉负根

函数u(x)为xe^(-x方)
计算：代入x₁(负根）计算
原式= $-\frac{\sqrt{2}}{2}e^{-(-\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}}$
其实不用进行太繁琐的计算。因为e^x在x属R时必定大于0，则本算式结果为负。则其必定为最小值点

导数原理计算

令l₁<x₁,l₂>x₁.

例：取l₁=-1,l₂=0
则代入u’(x): $u'(l_{1})=(1-2)e^{-1}=-\frac{1}{e}<0$ $u'(l_{2})=e^{0}=1>0$ $\therefore x_{1}为极小值点$ 同理可证x₀是极大值点

4最大值

说了这么多来计算一下
$u(x)的极大值点为x_{0}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
则 $\max _{0\leq x\leq 1} xe^{-x^{2}} = u(\frac{\sqrt{2}}{2})$ $=\frac{\sqrt{2}}{2}e^{-(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}}$ $=\frac{\sqrt{2}}{2}e^{-\frac{1}{2}}$ $=\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{1}{\sqrt{e}}$ $\therefore \max _{0\leq x \leq 1} xe^{-x^{2}}=\frac{\sqrt{2e}}{2}$