数据科学、数据分析、人工智能必备知识汇总-----微积分基础-----持续更新

多元函数微分学会放在另一篇文章中

1. 高中必会

$\{\begin{array}{ll}lnA\cdot B& =lnA+lnB\\ ln\frac{A}{B}& =lnA-lnB\\ ln{A}^B& =B\cdot lnA\\ {\log }_{a}b& =\frac{lo{g}_{c}b}{lo{g}_{c}a}\\ lo{g}_{a}a& =1\\ 对数恒等式：a^{lo{g}_{a}N}& =N(a>0,a\ne 1,N>0)\\ ln(a+b)=ln(a\cdot (1+b))& =lna+ln(1+b)\end{array}$

$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}二角和差：\{\begin{array}{l}cos(\alpha \pm \beta )=cos\alpha \cdot cos\beta \mp sin\alpha \cdot sin\beta \\ sin(\alpha \pm \beta )=sin\alpha \cdot cos\alpha \pm sin\beta \cdot cos\beta \\ tan(\alpha \pm \beta )=\frac{tan\alpha \pm tan\beta }{1\mp tan\alpha tan\beta }\end{array}\\ 倍角公式：\{\begin{array}{l}由二角和差公式推导(例如sin2\alpha =sin(\alpha +\alpha ))\\ sin2\alpha =2sin\alpha cos\alpha =sin(\alpha +\alpha )=sin\alpha cos\alpha +sin\alpha cos\alpha \\ cos2\alpha =co{s}^2\alpha -si{n}^2\alpha =2co{s}^2\alpha -1=1-2si{n}^2\alpha \\ tan2\alpha =\frac{2tan\alpha }{1-ta{n}^2\alpha }\end{array}\\ 降次公式：\{\begin{array}{l}由倍角公式推导，例如cos2\alpha =1-2si{n}^2\alpha 则si{n}^2\alpha =\frac{1-cos(2\alpha )}{2}\\ si{n}^2\theta =\frac{1-cos(2\theta )}{2}\\ \\ co{s}^2\theta =\frac{1+cos(2\theta )}{2}\\ \\ ta{n}^2\theta =\frac{si{n}^2\theta }{co{s}^2\theta }=\frac{1-cos(2\theta )}{1+cos(2\theta )}\end{array}\\ 半角公式：\{\begin{array}{l}由降次公式推导，例如si{n}^2\theta =\frac{1-cos(2\theta )}{2}则si{n}^2\frac{x}{2}=\frac{1-cos(2\cdot \frac{x}{2})}{2}然后可以开平方得到sin\frac{x}{2}\\ sin\frac{x}{2}=\pm \sqrt{\frac{1-cosx}{2}}\\ cos\frac{x}{2}=\pm \sqrt{\frac{1+cosx}{2}}\\ tan\frac{x}{2}=\pm \sqrt{\frac{1-cosx}{1+cosx}}\end{array}\\ 函数公式：\{\begin{array}{l}si{n}^{2}x+co{s}^{2}x=1\\ 1+ta{n}^{2}x=se{c}^{2}x，(\because si{n}^{2}x+co{s}^{2}x=1\to \frac{si{n}^{2}x}{co{s}^{2}x}+\frac{co{s}^{2}x}{co{s}^{2}x}=\frac{1}{co{s}^{2}x}=ta{n}^{2}x+1=se{c}^{2}x)\\ sinx+cosx=\sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}sinx+\frac{\sqrt{2}}{2}cosx)=\sqrt{2}(sinxcos45°+cosxsin45°)=\sqrt{2}(sin(x+\frac{\pi }{4}))\end{array}\end{array}\\ \end{array}$

一般，都会将r写成$\rho$来让读者知道，是极坐标，而不是圆形，但是要知道$\rho$，代表的就是r这条半径的长度

2. 导数和微分的定义

导数有什么用？

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求极值，往往需要设导数为0

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神经网络里面的激活函数会用到导数，说白了还是求导数为0的情况，只不过是复合函数的形式，下面我们推导一下激活函数，看不懂的先跳过，之后回头来尝试推断一遍

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激活函数SIGMOD：$\{\begin{array}{l}(\frac{1}{1+e^{-x}}{)}^{{}^{\prime }}\\ \\ =-\frac{1}{(1+e^{-x}{)}^2}\cdot (0+e^{-x}\cdot (-1))\\ \\ =\frac{e^{-x}}{1+e^{-x}}\cdot \frac{1}{1+e^{-x}}\\ \\ =\frac{1+e^{-x}-1}{1+e^{-x}}\cdot \frac{1}{1+e^{-x}}\\ \\ =(1-\frac{1}{1+e^{-x}})\cdot \frac{1}{1+e^{-x}}\\ \\ 记\sigma (x)=\frac{1}{1+e^{-x}}，故SIGMOD=(1-\sigma (x))\cdot \sigma (x)\end{array}$

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所以说机器学习，数学是必不可少的，不理解公式，就不知道学习算法是怎么一回事，你的模型就具备天然的劣势。接下来再介绍一个理解，是卷积神经网络CNN中的一个激活函数tanh，是对双切曲线进行求导得到的

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tanh：$\{\begin{array}{l}(\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}{)}^{{}^{\prime }}由四则运算得：\frac{(e^x+e^{-x})\cdot (e^x+e^{-x})-(e^x-e^{-x})\cdot (e^x-e^{-x})}{(e^x+e^{-x}{)}^2}\\ \\ =1-\frac{(e^x-e^{-x}{)}^2}{(e^x+e^{-x}{)}^2}\\ \\ =1-(\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}{)}^2\\ \\ 记f(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}，则tanh=1-f(x{)}^2\end{array}$

导数定义

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$\{\begin{array}{l}f(x)在x_0处可导\iff 左右导数存在且相等\iff \\ \\ f^{{}^{\prime }}(x_0)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\end{array}$

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上面的公式都是没有区分左右导数的形式给出的，实际上右导数就是从0或者$x_0$右边进行逼近，而左导数就是从0或者$x_0$左边(也就是负方向)进行逼近。两边的导数可能完全不一致，此时我们称此处不可导

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导数就是当增量$\Delta x\to 0$时，上式算出来的值。导数在几何上表示曲线$y=f(x)在点(x_0,f(x_0))$处切线的斜率，可以理解为$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{函数增量}{移动增量}$。当增量无限接近于0时，就可以得到$x_0$那一点的切线斜率，也就是函数在$x_0$这一点的变化率

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微分$dy=f^{{}^{\prime }}(x_0)dx$在几何上表示曲线$y=f(x)$的切线上的增量。另外$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$，在几何上表示曲线$y=f(x)$上的增量。也就是说$\Delta y\approx dy$

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微分定义：$f(x)$在$x_0$处可微$\Rightarrow$当$\Delta x\to 0$ 时，有$f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$ = $f^{{}^{\prime }}(x_0)\Delta x+O(\Delta x)$

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其中$f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$就是$\Delta y$，$x_0$处的增量

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$f^{{}^{\prime }}(x_0)\Delta x$就是$dy$，也就是$x_0$处的导数 $\times$ $dx$

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$O(\Delta x)$是高阶无穷小

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3. 导数物理意义

前面介绍了导数的几何意义，在一元函数中，A点的导数就是A点的切线斜率

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那么物理意义是什么呢？其实就是瞬时速度$f^{{}^{\prime }}(t)=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\Delta s}{\Delta t}$，也就是$\frac{瞬时位移距离}{瞬时需要时间}$。

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下图中横坐标t表示时间，纵坐标s表示移动距离，紫色的线是随时间推移所移动的距离。那么割线（下图中的$l_1$）是平均速度$\frac{s}{t}$，而切线是瞬时速度，可不像平均速度那样简单的除一下，而是时间无限趋近于0那一刻的瞬时速度，就需要求导(下图中的$l_2$)。

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4. 求导相关公式

$\{\begin{array}{llcc}1、(C{)}^{\prime }=0& 2、(x^a{)}^{\prime }=a{x}^{a-1}& 2.1、(\frac{1}{x}{)}^{\prime }=-(\frac{1}{x^2})& 2.2、(\sqrt{x}{)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}\\ 3、(a^x{)}^{\prime }=(a^x)lna& 3.3、(e^x{)}^{\prime }=e^x& & \\ 4、(lo{g}_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{xlna}& 4.1、(lnx{)}^{\prime }=\frac{1}{x}& & \\ & & & \end{array}$

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其中$(lo{g}_{a}x{)}^{{}^{\prime }}$通过换底公式全部换为e为底$=(\frac{lnx}{lna}{)}^{{}^{\prime }}$ = $\frac{1}{lna}\frac{1}{x}=\frac{1}{xlna}$

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其实上面导数的公式都可以通过第二个重要极限$\underset{\square \to 0}{\lim }(1+\square {)}^{\frac{1}{\square }}=e$推导出来

通过$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{sinx}{x}=1$进行推导。三角函数的导数在机器学习领域我们很少会用到，三角函数是周期函数，我们机器学习中很多时候要求的是单调函数，单调增也好，单调减也好，最好不要周期函数。

$\{\begin{array}{llcc}& 1、(sinx{)}^{\prime }=cosx& 2、(cosx{)}^{\prime }=-sinx& 3、(tanx{)}^{\prime }=se{c}^{2}x\\ & 4、(cotx{)}^{\prime }=-cs{c}^{2}x& 5、(secx{)}^{\prime }=secx\cdot tanx& 6、(cscx{)}^{\prime }=-cscx\cdot cotx\\ & & & \end{array}$

证明过程如下：

$\{\begin{array}{l}1、(tanx{)}^{\prime }=(\frac{sinx}{cosx}{)}^{\prime }=\frac{cosx\cdot cosx-sinx\cdot (-sinx)}{co{s}^{2}x}=\frac{1}{co{s}^{2}x}=se{c}^{2}x\\ \\ 2、(cotx{)}^{\prime }=(\frac{cosx}{sinx}{)}^{\prime }=\frac{sinx\cdot (-sinx)-cosx\cdot cosx}{si{n}^{2}x}=-\frac{1}{si{n}^{2}x}=-cs{c}^{2}x\\ \\ 3、(secx{)}^{\prime }=(\frac{1}{cosx}{)}^{\prime }=\frac{cosx\cdot 0-1\cdot (-sinx)}{co{s}^{2}x}=\frac{sinx}{co{s}^{2}x}=secx\cdot tanx\\ \\ 4、(cscx{)}^{\prime }=(\frac{1}{sinx}{)}^{\prime }=\frac{sinx\cdot 0-1\cdot (cosx)}{si{n}^{2}x}=\frac{-cosx}{si{n}^{2}x}=-cscx\cdot cotx\\ \\ 5、(sinx{)}^{\prime }=(\frac{1}{\frac{1}{sinx}}{)}^{\prime }=(\frac{1}{cscx}{)}^{\prime }=\frac{cscx\cdot 0-1\cdot (-cscx\cdot cotx)}{cs{c}^{2}x}=\frac{cotx}{cscx}=\frac{cosx}{sinx}\cdot sinx=cosx\\ \end{array}$

$\{\begin{array}{llc}& 1、(arctanx{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}& 2、(arccot{)}^{\prime }=-\frac{1}{1+x^2}\\ & 3、(arcsinx{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}& 4、(arccosx{)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ & & \end{array}$

证明过程如下：$(反函数{)}^{\prime }=\frac{1}{(原函数{)}^{\prime }}$

$\{\begin{array}{l}1、(arcsinx{)}^{\prime }(x\in [-1,1])=\{\begin{array}{l}\because y=arcsinx\therefore 原函数为x=siny且y\in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]\\ \frac{dy}{dx}=(arcsinx{)}^{\prime }=\frac{1}{(siny{)}^{\prime }}=\frac{1}{cosy}=\frac{1}{\sqrt{1-si{n}^{2}y}}\\ \because x=siny\therefore si{n}^{2}y=x^2，\frac{1}{\sqrt{1-si{n}^{2}y}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\end{array}\\ 2、(arctanx{)}^{\prime }=\{\begin{array}{l}\because y=arctanx\therefore x=tany\\ \frac{dy}{dx}=(arctanx{)}^{\prime }=\frac{1}{(tany{)}^{\prime }}=\frac{1}{se{c}^{2}y}=\frac{1}{1+ta{n}^{2}y}=\frac{1}{1+x^2}\end{array}\\ \end{array}$

5. 四则运算法则和复合函数求导法则

$\{\begin{array}{l}基本求导法则：\{\begin{array}{l}1、(u\pm v{)}^{\prime }=u^{\prime }\pm v^{\prime }\\ 2、(u\cdot v{)}^{\prime }=u^{\prime }\cdot v+v^{\prime }\cdot u\\ 3、(\frac{u}{v}{)}^{\prime }=\frac{v\cdot u^{\prime }-u\cdot v^{\prime }}{v^2},v\ne 0\end{array}\\ \\ 反函数求导法则\{\begin{array}{l}(反函数{)}^{\prime }=\frac{1}{(原函数{)}^{\prime }}\end{array}\\ \\ \end{array}$

设$u=g(x)$在$x$处可导，$y=f(u)$在对应点处可导，则复合函数$y=f(g(x))$在x处可导，且有

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$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}=f^{{}^{\prime }}(u)g^{{}^{\prime }}(x)$

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解释一下就是，先对外层求导（内层完全看成一个变量），然后额外对内层求导，将两个结果乘起来即可

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$f(x)=ln(1+x^2+e^{2x})$，求导得$\frac{1}{1+x^2+e^{2x}}\cdot (0+2x+e^{2x}\cdot 2)$

6. 高阶导数、导数与函数单调性的关系

前面都有一阶导数，也就是求一次导数，而对第一次导数的结果再次求导就是二阶导数，依次类推，n阶导数就是求n次导，二阶及以上的导数统称高阶导数

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$f(x)=5x^4$，则$f^{{}^{\prime \prime }}(x)=(f^{{}^{\prime }}(x){)}^{{}^{\prime }}=f^{(2)}(x)=[(5x^4{)}^{{}^{\prime }}{]}^{{}^{\prime }}=[20x^3{]}^{{}^{\prime }}=60x^2$

利用导数可以方便的判断函数$f(x)$在区间$(a,b)$中的单调性

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在区间$(a,b)$内$\{\begin{array}{l}{f}^{{}^{\prime }}(x)>0\\ f^{{}^{\prime }}(x)<0\end{array}$时$f(x)在(a,b)$区间内$\{\begin{array}{l}单调增\\ 单调减\end{array}$

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在区间$(a,b)$内$\{\begin{array}{l}{f}^{{}^{\prime }}(x)\ge 0\\ f^{{}^{\prime }}(x)\le 0\end{array}$且$f^{{}^{\prime }}(x)$只有限个0点时，$f(x)在(a,b)$区间内$\{\begin{array}{l}单调增\\ 单调减\end{array}$

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简单来说，函数在某一点的导数大于0，那么函数在这一点是单调增

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例如下图$f(x)=x^2$的导数$f^{{}^{\prime }}(x)=2x$，当$x<0$时函数就单调减，$x>0$时函数就单调增

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7. 极值

初高中使用初等数学求函数极值可费老劲了，而有了导数，只要找到导数为0的点生成极值的必要条件，并且搭配上极值的充分条件，就可以轻松找到极值点

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定义：设$y=f(x)$在点$x_0$的某邻域内有定义,如果对于该邻域内任何$x$,恒有$f(x)\le f(x_0)$$(或f(x)\ge f(x_0))$，则称$x_0$为$f(x)$的一个极大值点（或极小值点）,称$f(x_0)$为$f(x)$的极大值（或极小值）。说大白话就是函数其它点都比$x_0$大，那么$x_0$就是极小值点，极大值点同理。

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疑似极值点：驻点($f^{{}^{\prime }}(x_0)=0$)和不可导点($f^{{}^{\prime }}(x)不存在$)

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极值必要条件：设$y=f(x)$在点$x_0$处取极值,则$f^{{}^{\prime }}(x_0)=0$或$f^{{}^{\prime }}(x_0)$不存在.通常把导数为零的点称为函数的驻点。

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由极值的必要性可知,对可导函数而言,极值只可能在驻点上取得,极值点必为驻点,但驻点并不一定是极值点.

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而对一般函数而言,极值只可能在两种点上取得,这两种点是驻点和导数不存在的点,而要判断在这两种点上是否一定取得极值需利用下列充分条件

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第一充分条件

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设$f^{{}^{\prime }}(x_0)=0$(或$f(x)$在$x_0$处连续),且在$x_0$的某去心邻域$U^o(x_0,\sigma )$内可导,

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① 若$х\in (x_0-\delta ,x_0)$时,$f^{{}^{\prime }}(x)>0$,而$x\in (x_0,x_0+\delta )$时,$f^{{}^{\prime }}(x)<0$,则$f(x)$在$x_0$处取得极大值;

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② 若$х\in (x_0-\delta ,x_0)$时,$f^{{}^{\prime }}(x)<0$,而$x\in (x_0,x_0+\delta )$时,$f^{{}^{\prime }}(x)>0$,则$f(x)$在$x_0$处取得极小值;

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③ 若$х\in U^o(x_0,\delta )$时,$f^{{}^{\prime }}(x)$的符号保持不变，则$f(x)$在$x_0$处没有极值**

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第二充分条件：利用二阶导数，因为二阶导数可以判断曲线凹凸性

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一阶导$f^{{}^{\prime }}(x_0)=0$，二阶导$\{\begin{array}{l}{f}^{{}^{\prime \prime }}(x_0)\ne 0，取极值\{\begin{array}{l}{f}^{{}^{\prime \prime }}(x_0)>0，取极小值\\ f^{{}^{\prime \prime }}(x_0)<0，取极大值\end{array}\\ f^{{}^{\prime \prime }}(x_0)=0，第二充分条件不可用\end{array}$

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第三充分条件：如果上面两个都没法用，就试试这个吧

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若$f^{{}^{\prime }}(x_0)=f^{{}^{\prime \prime }}(x_0)=\cdots =f^{(n-1)}(x_0)=0$，但唯独$f^{(n)}(x_0)\ne 0$时

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$\{\begin{array}{l}n为偶数时，f(x)在x_0有极值\{\begin{array}{l}{f}^{(n)}(x_0)>0,f(x)在x_0处取极小值\\ \\ f^{(n)}(x_0)<0,f(x)在x_0处取极小值\end{array}\\ \\ n为奇数时，f(x)在x_0处无极值\end{array}$

8. 凹凸性

几何上，f(x)的二阶导数反映其凹凸性

曲线凹凸性定义：设$f(x)$在区间$I$上连续,如果对$I$上任意两点$x_1,x_2$,恒有

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$\{\begin{array}{l}f(\frac{x_1+x_2}{2})<\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}，称f(x)在I上的图形是凹的\\ \\ f(\frac{x_1+x_2}{2})>\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}，称f(x)在I上的图形是凸的\end{array}$

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曲线凹凸性判定：设$f(x)$在$[a,b]$连续，$(a,b)$内二阶可导，若$(a,b)$内

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$\{\begin{array}{l}{f}^{{}^{\prime \prime }}(x)>0，曲线y=f(x)在[a,b]上是凹的\\ \\ f^{{}^{\prime \prime }}(x)<0，曲线y=f(x)在[a,b]上是凸的\end{array}$

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9. 拐点

拐点定义和可疑点：

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$\{\begin{array}{l}连续曲线y=f(x)在点(x_0,f(x_0))邻近两侧，凹凸性相反，则(x_0,f(x_0))为y=f(x)的拐点\\ \\ f^{{}^{\prime \prime }}(x)=0和f^{{}^{\prime \prime }}(x)不存在的点。可能是拐点\end{array}$

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拐点判定（就是极值的一个必要和3个充分，导数的阶数都抬高一阶即可）

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拐点必要条件：设$y=f(x)$在点$x_0$处二阶可导,且点$(x_0,f(x_0))$为曲线$y=f(x)$的拐点，则$f^{{}^{\prime \prime }}(x_0)=0$或$f^{{}^{\prime \prime }}(x_0)$不存在.

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第一充分条件

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设$f^{{}^{\prime \prime }}(x_0)=0$(或$f(x)$在$x_0$处连续，且在$x_0$的某去心邻域$U^o(x_0,\sigma )$内二阶可导)

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① 若$f^{{}^{\prime \prime }}(x)$在$x=x_0$处左右两边去心邻域异号，则$(x_0,f(x_0))$是$y=f(x)$的拐点

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第二充分条件：

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二阶导$f^{{}^{\prime }}(x_0)=0$且$y=f(x)$在点$x_0$处三阶可导，三阶阶导$\{\begin{array}{l}{f}^{{}^{\prime \prime \prime }}(x_0)\ne 0，点(x_0,f(x_0))是y=f(x)的拐点\\ \\ f^{{}^{\prime \prime \prime }}(x_0)=0，第二充分条件不可用\end{array}$

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第三充分条件：如果上面两个都没法用，就试试这个吧

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若$f^{{}^{\prime \prime }}(x_0)=f^{{}^{\prime \prime \prime }}(x_0)=\cdots =f^{(n-1)}(x_0)=0$，但唯独$f^{(n)}(x_0)\ne 0，(n>3)$时

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$\{\begin{array}{l}n为奇数时(和极值相反)，是拐点\\ \\ n为偶数时，不是拐点\end{array}$

10. 泰勒展开

就是利用导数(也就是切线)，无限逼近$x_0$那一点真实的$f(x)$函数值。其中公式里面的$f^{{}^{\prime }}(x)$就是$\frac{dy}{\Delta x}$，$(x-x_0)$就是$\Delta x$

可以用来研究函数某些性质，从而完成很多任务。在机器学习中，用来求函数极值，很多时候$f(x)$可能过于复杂，可以用泰勒展开做一个近似

梯度下降法，就是做一个近似，只保留泰勒展开一阶项

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牛顿法，保留泰勒展开二阶项，忽略二阶以上的项，用二次函数来进行函数$f(x)$

泰勒公式具体展开到多少项：反正展开后不要比分母大，比如分母是x^4,你展开后，最高次分子就不要超过4次，只能比4次小或等于4次。

公式：$f(x)=f(x_0)+\frac{f^{{}^{\prime }}(x_0)}{1!}\cdot (x-x_0{)}^1+\frac{f^{{}^{\prime \prime }}(x_0)}{2!}\cdot (x-x_0{)}^2+\frac{f^{{}^{\prime \prime \prime }}(x_0)}{3!}\cdot (x-x_0{)}^3+...+\frac{f^n(x_0)}{n!}\cdot (x-x_0{)}^n+RN(余项O((x-x^0{)}^n))$
你可以只记住上面这个公式(上面这个展开了常数项+一阶项+二阶项+三阶项+...+n阶项)，然后现场推导。下面的常用展开，只需记住4个，剩下的都可以通过这4个快速推导。注意：所有展开只考虑$x_0=0$时

1. 需要记忆的4个：$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}1、e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...+\frac{x^n}{n!}+O(x^n)\\ 2、sinx=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-...+\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{(2n+1)!}+O(x^{2n+1})\\ 3、\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+...+x^n+O(x^n)\\ 4、(1+x{)}^a=1+ax+\frac{a(a-1)}{2!}{x}^2+\frac{a(a-1)(a-2)}{3!}{x}^3+...+\frac{\alpha (\alpha -1)...(\alpha -n+1)}{n!}+O(x^n)\end{array}\\ \end{array}$
2. 可推导的4个$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}1、cosx=(sinx{)}^{{}^{\prime }}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-...+\frac{(-1{)}^n{x}^{2n}}{(2n)!}+O(x^{2n})没错，就是根据上面sinx的公式，每一项求导\\ 2、\frac{1}{1+x}=\frac{1}{1-(-x)}=1-x+x^2-x^3+...+(-1{)}^n{x}^n+O(x^n)没错，就是把分母的1-x换成1-(-x)\\ 3、ln(1+x)=\int \frac{1}{1+x}dx=x-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{4}{x}^4+...+(-1{)}^n\frac{1}{n+1}{x}^{n+1}+O(x^n)没错，就是把\frac{1}{1+x}每项求积分\\ 4、ln(1-x)=ln(1+(-x))=-x-\frac{1}{2}{x}^2-\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{4}{x}^4+...+(-1{)}^n\frac{1}{n+1}(-x{)}^{n+1}+O(x^n)没错，就是把1-x换成1+(-x)\\ 5、-ln(1-x)=x+\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{4}{x}^4+...+(-(-1{)}^n)\frac{1}{n+1}(-x{)}^{n+1}+O(x^n)我怕你们翻不过来，泰勒展开式也可以两边同乘同除（比如同乘-1）\end{array}\\ \end{array}$
3. 拔高的3个（算极限等价无穷小很好用，但机器学习推导也用不着），最好背下来，这3个直接用泰勒展开式推导非常麻烦$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}1、tanx=x+\frac{1}{3}{x}^3+\frac{2}{15}{x}^5+\frac{17}{315}{x}^7+...+O(x^n)记住前两项就够用\\ \\ 2、arctanx=x-\frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{5}{x}^5+...+O(x^n)写3项是为了告诉大家，不是tanx推过来的\\ \\ 3、arcsinx=x+\frac{1}{6}{x}^3+\frac{3}{40}{x}^5+...+O(x^n)没错，就是把\frac{1}{1+x}每项求积分\end{array}\\ \end{array}$