LeetCode4：Median of Two Sorted Arrays

二、解题思路

将原问题转变成一个寻找第k小数的问题（假设两个原序列升序排列），这样中位数实际上是第(m+n)/2小的数。所以只要解决了第k小数的问题，原问题也得以解决。

首先假设数组A和B的元素个数都大于k/2，我们比较A[k/2-1]和B[k/2-1]两个元素，这两个元素分别表示A的第k/2小的元素和B的第k/2小的元素。这两个元素比较共有三种情况：>、<和=。如果A[k/2-1]<B[k/2-1]，这表示A[0]到A[k/2-1]的元素都在A和B合并之后的前k小的元素中。换句话说，A[k/2-1]不可能大于两数组合并之后的第k小值，所以我们可以将其抛弃。

证明也很简单，可以采用反证法。假设A[k/2-1]大于合并之后的第k小值，我们不妨假定其为第（k+1）小值。由于A[k/2-1]小于B[k/2-1]，所以B[k/2-1]至少是第（k+2）小值。但实际上，在A中至多存在k/2-1个元素小于A[k/2-1]，B中也至多存在k/2-1个元素小于A[k/2-1]，所以小于A[k/2-1]的元素个数至多有k/2+ k/2-2，小于k，这与A[k/2-1]是第（k+1）的数矛盾。

当A[k/2-1]>B[k/2-1]时存在类似的结论。

当A[k/2-1]=B[k/2-1]时，我们已经找到了第k小的数，也即这个相等的元素，我们将其记为m。由于在A和B中分别有k/2-1个元素小于m，所以m即是第k小的数。(这里可能有人会有疑问，如果k为奇数，则m不是中位数。这里是进行了理想化考虑，在实际代码中略有不同，是先求k/2，然后利用k-k/2获得另一个数。)

通过上面的分析，我们即可以采用递归的方式实现寻找第k小的数。此外我们还需要考虑几个边界条件：

1.如果A或者B为空，则直接返回B[k-1]或者A[k-1]；

2.如果k为1，我们只需要返回A[0]和B[0]中的较小值；

3.如果A[k/2-1]=B[k/2-1]，返回其中一个；

最终实现的代码为：

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

class solution{
public:
	//求中位数

	double findMedianSortedArrays(int A[], int m, int B[], int n){
		int total = m + n;
		//判断奇偶性
		if (total & 0x1)
			return find_kth(A, m, B, n, total / 2 + 1);//total为奇数
		else
			return (find_kth(A, m, B, n, total / 2) + find_kth(A, m, B, n, total / 2 + 1)) / 2.0; //total为偶数
	}
private:
	//求第k个数
	static int find_kth(int A[], int m, int B[], int n, int k){
	    //假设m总是等于或者小于n
		if (m > n) return find_kth(B, n, A, m, k);
		if (m == 0) return B[k - 1];
		if (k == 1) return min(A[0], B[0]);

		//divide k into two parts
		int ia = min(k / 2, m), ib = k - ia;
		//删除数组A中的前ia个数
		if (A[ia - 1] < B[ib - 1])
			return find_kth(A + ia, m - ia, B, n, k - ia);
		//删除数组B中的前ib个数
		else if (A[ia - 1]>B[ib - 1])
			return find_kth(A, m, B + ib, n - ib, k - ib);
		//A[ia-1]=B[ib-1]，则A[ia-1]、B[ib-1]即为第k个数
		else
			return A[ia - 1];
	}
};

int main() {
	double result;
	solution solution1;
	int A[] = {1,4,6,7,9,17};
	int B[] = {2,3,5,8,11,14};
	result = solution1.findMedianSortedArrays(A, 6, B, 6);
	cout << "The median of two sorted arrays is:" << result << endl;
	system("pause");
	return 0;
}

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;

class solution{
public:
	//求中位数
	double findMedianSortedArrays(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2){
		int m = nums1.size();
		int n = nums2.size();
		int value1 = find_kth(nums1, m, nums1.begin(), nums2, n, nums2.begin(), (m + n+1 ) / 2);
		double result = value1;
			//判断奇偶性
			if (((m + n) & 0x1) == 0)
			{
				int value2 = find_kth(nums1, m, nums1.begin(), nums2, n, nums2.begin(), (m + n) / 2 + 1);
				result = ((double)value1 + (double)value2) / 2;
			}
		
		return result;
	}

private:
	//求第k个数
	static int find_kth(vector<int>& nums1, int m, vector<int>::iterator it1, vector<int>& nums2, int n, vector<int>::iterator it2, int k){
		//假设m总是等于或者小于n
		if (m > n) return find_kth(nums2, n, it2, nums1, m, it1, k);
		if (m == 0) return*(it2 + k - 1);
		if (k == 1) return min(*it1, *it2);

		//divide k into two parts
		int ia = min(k / 2, m), ib = k - ia;
		//删除数组A中的前ia个数
		if (*(it1 + ia - 1) <= *(it2 + ib - 1))
			return find_kth(nums1, m - ia, it1 + ia, nums2, ib, it2, k - ia);
		//删除数组B中的前ib个数
		else  
			return find_kth(nums1, ia, it1, nums2, n - ib, it2 + ib, k - ib);
	}
};

int main() {
	double Median;
	solution solution1;
	vector<int>numss1={ 1, 4, 6, 7, 9, 17 };
	vector<int>numss2= { 2, 3, 5, 8, 11, 14 };
	Median = solution1.findMedianSortedArrays(numss1, numss2);
	cout << "The median of two sorted arrays is:" << Median<< endl;
	system("pause");
	return 0;
}