动态规划 dp02 最长非降子序列问题 c代码

先看下题目：

给定一个由n个正整数组成的序列，从该序列中删除若干个整数，使剩下的整数组成非降子序列，求
最长的非降子序列。
例如，由12个正整数组成的序列为：
    48，16，45，47，52，46，36，28，46，69，14，42
请在序列中删除若干项，使剩下的项为非降(即后面的项不小于前面的项)序列，剩下的非降序列
最多为多少项？

这道题第一次做是会做的，刷了两天动态规划类题目，第二次做的时候，不会了 (￣_,￣ )，难道dp类题目刷的不够多？

我们知道，动态规划类题目通常分为三个步骤求解：

1. 分阶段。

2. 状态迁移方程。

3. 求取最优解。

第一次做思考了一下就想到方案了，第二次做的时候没思考就想着套动态规划的解题过程，结果把自己套没了...... 看来解决问题不能套公式，灵活处理最重要。

对于这套题目，设数组a[n], 假设M[i]表示从i~n的最长非降数列长度，边界情况是m[n] = 1；从后往前遍历，求m[i]，对于任意一个j, i < j < n;

如果a[i] <= a[j]，则m[i] = m[j] + 1; 遍历[i+1, n]，找到最大的m[i]即可。

状态迁移方程得到了，求取最优解序列的时候，遍历m[i]，找到最大值i，顺着i打印即可。保持后续的打印数字m[i]递减。

这道题的c代码：

/*
 *  最长非降子序列
 *  
 *  m[i] = MAX(m[j]) + 1; a[i] > a[j] && j < i;
 */

#include <stdio.h>
#include <time.h>
#include <stdlib.h>

#define MAX(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))

void main()
{
	int a[30] = {0}, n, i,j,k,max,m[30] = {0}, c[30];

	printf("input total numbers :"); scanf("%d", &n);

	if (n > 30)
	{
		printf("invalid number\n");
		return;
	}

	//随机生成一些数字
	srand(time(NULL));
	for (i = 0; i < n; i++)
		a[i] = rand()%20 + 1;

	printf("无序数列为：");
	for (i = 0; i < n; i++)
		printf("%d ", a[i]);
	printf("\n");	
		

	//边界初始化
	m[n-1] = 1;
	c[n-1] = n-1;

	//状态递推
	for (i = n- 2; i >= 0; i--)
	{
		m[i] = 1;
		c[i] = i;
		
		for (j = n - 1; j > i; j--)
		{
			if (a[i] <= a[j])
			{
				if (m[i] < m[j] + 1){
					m[i] = m[j] + 1;	
					c[i] = j;
				}
			}	
		}
	}

	//打印最优值
	max = 0;
	for (i = 0; i < n; i++){	
		//printf("%d ", m[i]);
		if (m[i] > max)
		{
			max = m[i];
			k = i;
		}
	}	
		
	printf("最长非降子数列长度为：%d\n", max);
	while (c[k] != k)
	{
		printf("%d ", a[k]);
		k = c[k];
	}
	printf("%d \n",a[k]);
	return;
}

参考资料：

1. 数据结构 : C语言版/ 严蔚敏，吴伟民编著

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