【DP】【统计】【NOI1999】棋盘分割

题目描述

将一个８*８的棋盘进行如下分割：将原棋盘割下一块矩形棋盘并使剩下部分也是矩形，再将剩下的部分继续如此分割，这样割了n-1次后，连同最后剩下的矩形棋盘共有n块矩形棋盘。（每次切割都只能沿着棋盘格子的边进行）

原棋盘上每一格有一个分值，一块矩形棋盘的总分为其所含各格分值之和。现在需要把棋盘按上述规则分割成 $n$块矩形棋盘，并使各矩形棋盘总分的均方差最小。
均方差$\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2}{n}}$，其中平均值 $\bar x=\frac{\sum_{i=1}^nx_i}{n}$， $x_i$为第 $i$块矩形棋盘的总分。
请编程对给出的棋盘及$n$，求出 $\sigma$的最小值。

输入

第1行为一个整数$n\,(1 < n < 15)$。
第2行至第9行每行为8个小于100的非负整数，表示棋盘上相应格子的分值。每行相邻两数之间用一个空格分隔。

输出

仅一个数，为$\sigma$（四舍五入精确到小数点后三位）。

样例输入

3
1 1 1 1 1 1 1 3
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 0
1 1 1 1 1 1 0 3

样例输出

1.633

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这道题乍一看数据范围就是DP。【暴力搜索确实超一点】
别的人的题解已经介绍的比较全了，这里说一下那个均方差公式的变形，否则是不能用别的题解所给的状态转移方程的。

$$\begin{align} \sigma&=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2}{n}}\\&=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n(x_i^2-2x_i\bar x+\bar x^2)}{n}}\\&=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^nx_i^2-2\bar x\sum_{i=1}^nx_i+n\bar x^2}{n}}\\&=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^nx_i^2}{n}-\bar x^2}\end{align}$$
这样的话我们只需要对每个棋盘上的矩形区域DP其各子块分值的平方和即可。
设 $dp[y1][x1][y2][x2][k]$表示切了k次后左上角坐标为 $(y_1, x_1)$，右下角坐标为 $(y_2, x_2)$的矩形当前 $\sum_{i=1}^kx_i^2$的最小值。
则有四种转移始状态，为当前矩形为从某（上/下/左/右）侧切一整块，另一侧为 $k-1$个分割完的块。
直接上代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;
const int INF=1<<30;
int n, chess[9][9]={0}, sum[9][9]={0}, dp[9][9][9][9][15]={0};
//直接计算矩形(y1, x1)(y2, x2)矩形分数平方
int getX(int y1, int x1, int y2, int x2){
    int a=sum[y2][x2]-sum[y2][x1-1]-sum[y1-1][x2]+sum[y1-1][x1-1];
    return a*a;
}
int main(){
    scanf("%d", &n);
    //统一i表示y，j表示x
    for(int i=1;i<=8;i++)
        for(int j=1;j<=8;j++)
            scanf("%d", &chess[i][j]);
    //计算sum数组（矩形(1, 1)(i, j)的分数和），方便直接计算getX
    for(int i=1;i<=8;i++){
        for(int j=1;j<=8;j++)
            sum[i][j]=sum[i][j-1]+chess[i][j];
        for(int j=1;j<=8;j++)
            sum[i][j]+=sum[i-1][j];
    }
    //初值
    for(int i1=1;i1<=8;i1++)
        for(int j1=1;j1<=8;j1++)
            for(int i2=i1;i2<=8;i2++)
                for(int j2=j1;j2<=8;j2++)
                    dp[i1][j1][i2][j2][0]=getX(i1, j1, i2, j2);
    //这里的i是切割数（分析里的k）
    for(int i=1;i<n;i++)
        for(int i1=1;i1<=8;i1++)
            for(int j1=1;j1<=8;j1++)
                for(int i2=i1;i2<=8;i2++)
                    for(int j2=j1;j2<=8;j2++){
                        //赋值INF，若状态不合法不会干扰其他状态
                        dp[i1][j1][i2][j2][i]=INF;
                        //左右切割
                        for(int k=j1;k<j2;k++)
                            dp[i1][j1][i2][j2][i]=min(dp[i1][j1][i2][j2][i], min(dp[i1][j1][i2][k][i-1]+dp[i1][k+1][i2][j2][0], dp[i1][j1][i2][k][0]+dp[i1][k+1][i2][j2][i-1]));
                        //上下切割
                        for(int k=i1;k<i2;k++)
                            dp[i1][j1][i2][j2][i]=min(dp[i1][j1][i2][j2][i], min(dp[i1][j1][k][j2][i-1]+dp[k+1][j1][i2][j2][0], dp[i1][j1][k][j2][0]+dp[k+1][j1][i2][j2][i-1]));
                    }
    //套公式
    printf("%.3f\n", sqrt(double(dp[1][1][8][8][n-1])/n-double(sum[8][8]*sum[8][8])/n/n));
    return 0;
}

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复杂度真吓人。记忆化搜索亦可。