向量范数和矩阵范数

最新推荐文章于 2024-08-08 22:42:03 发布

木禾DING

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分类专栏： Machine Learning 文章标签：机器学习线性代数

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范数

范数(norm)是数学中的一种基本概念。在泛函分析中，它定义在赋范线性空间中，并满足一定的条件，即 ①非负性；②齐次性；③三角不等式。它常常被用来度量某个向量空间（或矩阵）中的每个向量的长度或大小。范数，是具有“长度”概念的函数。在线性代数、泛函分析及相关的数学领域，范数是一个函数，是矢量空间内的所有矢量赋予非零的正长度或大小。半范数可以为非零的矢量赋予零长度。

总的来说，范数的定义就是一种具有“长度”概念的函数

一、向量范数

总体公式

$\LARGE \left \| \vec{v} \right \|^{p}=( \left | v_{1} \right |^{p}+ \left | v_{2} \right |^{p} +...+ \left | v_{n} \right |^{p} )^{\frac{1}{p}}$

举例先定义一个向量为： $\LARGE v=[-1,2,3,-4]$ .

1.1 向量的1范数

即 p=1 也就是向量的各个元素的绝对值之和。

$\LARGE \left \| \vec{v} \right \|= \left | v_{1} \right |+ \left | v_{2} \right |+...+ \left | v_{n} \right |$

那么上述向量 $\LARGE v=1+2+3+4=10$ .

1.2 向量的2范数

即 p=2 向量的每个元素的平方和再开平方根，也就是欧氏距离。

$\LARGE \left \| \vec{v} \right \|^{2}=\sqrt { \left | v_{1} \right |^{2}+ \left | v_{2} \right |^{2} +...+ \left | v_{n} \right |^{2} }$

那么上述向量 $\LARGE v=1+4+9+16=30$ .

1.3 向量的无穷范数

即 $p= \infty$ , 向量的所有元素的绝对值中最大的。

$\LARGE \begin{equation} \begin{aligned}\left \| \vec{v} \right \| & =( \left | v_{1} \right |^{\infty }+ \left | v_{2} \right |^{\infty} +...+ \left | v_{n} \right |^{\infty} )^{\frac{1}{\infty}} \\ & =( (\frac{\left | v_{1} \right |^{\infty }}{max|v_{i}|^{\infty }}+ \frac{\left | v_{2} \right |^{\infty}}{{max|v_{i}|^{\infty }}} +...+ \frac{\left | v_{n} \right |^{\infty}}{{max|v_{i}|^{\infty }}})max|v_{i}|^{\infty } )^{\frac{1}{\infty}} \\ & = (\frac{\left | v_{1} \right |^{\infty }}{max|v_{i}|^{\infty }}+ \frac{\left | v_{2} \right |^{\infty}}{{max|v_{i}|^{\infty }}} +...+ \frac{\left | v_{n} \right |^{\infty}}{{max|v_{i}|^{\infty }}})^{\frac{1}{\infty}}max|v_{i}| \\ & =max|v_{i}| \end{aligned} \end{equation}$