图的最小生成树——Prim算法和Kruskal算法

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图的最小生成树——Prim（普里姆）算法和Kruskal（卡鲁斯卡尔）算法

（1）最小生成树的概念

通常如果确定一个问题是最小生成树问题，那么你需要构建这样一个带权图：

1. 保证构建的图是连通图。
2. 图中所有边权值之和最小。
3. 为了使权值之和最小，因此图中不存在环。

最小生成树的定义

如果图G=(V,E)是一个连通的无向图，则把他的全部顶点V和一部分边E’构成一个子图G’，即G’=(V,E’)，且边集E’能将图中所有顶点连通又不形成回路，则称子图G’是图G的一颗生成树。同一个图可以有不同的生成树，但可以证明：n个顶点的连通图的生成树必定含有n-1条边。对于加权连通图（连通网），生成树的权即为生成树中的所有边上的权值总和，权值最小的生成树称为图的最小生成树。

（2）最小生成树算法框架

知识准备

1. 每一个顶点的无向连通图至少n-1条边。
2. 设G=(V,E)是至少包含一个环路的连通图，边（I,j）至少出现在一个环路中，则图G1=(V,E-{（I,j）})也是连通图。

根据以上说明，如果在已有的图中（前提是连通图），选择n-1条不构成环的边，就可以建立一棵生成树。那么如何保证权值总和最小？下面提供两种贪心算法。

Prim算法

算法基本思想（设图G的度为n，G=（V，E））

1.设置一个顶点的集合S和一个边的集合TE，S和TE初始状态均为空集；

2.选定图中的一个顶点K，从K开始生成最小生成树，将K加入到集合S中；

3.重复下列操作，直到选取了n-1条边：

选取一条权值最小的边（x，y），其中x∈S，not（y∈S）；

将顶点y加入集合S，边（x，y）加入集合TE；

4.得到最小生成树T=(S,TE)

Kruskal算法

算法基本思想（设图G的度为n，G=（V，E））

设最小生成树为T=(V,TE)，设置边的集合TE的初始状态为空集。将图G中的边按权值从小到大排好序，然后从小的开始依次选取，若选取的边使生成树T不形成回路，则把它并入TE中保留作为T的一条边；若选取的边使生成树形成回路，则将其舍弃；如此进行下去，直到TE中包含n-1条边为止。最后T即为最小生成树。

Kruskal算法在实现过程中的关键和难点在于：如何判断欲加入的一条边是否与生成树中已保留的边形成回路。我们可以将顶点划分到不同的集合中，每个集合中的顶点表示一个无回路的连通分量，很明显算法开始时，把n个顶点划分到n个集合中，每个集合中只有一个顶点，表示顶点之间互不相通。当选取一条边时，若它的两个顶点分属于不同的集合，则表明此边连通了两个不同的连通分量，因每个连通分量无回路，所以连通后得到的连通分量任不会产生回路，因此这条边应该保留，且把它们作为一个连通分量，即把它的两个顶点所在集合合并成一个集合。反之则应该舍弃选中的那条边。

（这里可能需要图的存储相关知识 见上一篇https://blog.csdn.net/createprogram/article/details/86765606）

有关最小生成树的例题https://blog.csdn.net/createprogram/article/details/87126446