【模板】堆排序

理论

堆是具有以下性质的完全二叉树：每个结点的值都大于或等于其左右孩子结点的值，称为大顶堆；或者每个结点的值都小于或等于其左右孩子结点的值，称为小顶堆。如下图：

同时，我们对堆中的结点按层进行编号，将这种逻辑结构映射到数组中就是下面这样：

该数组从逻辑上讲就是一个堆结构，我们用简单的公式来描述一下堆的定义就是：

大顶堆：arr[i] >= arr[2i+1] && arr[i] >= arr[2i+2]  

小顶堆：arr[i] <= arr[2i+1] && arr[i] <= arr[2i+2]  

堆排序基本思想

1.将待排序序列构造成一个大顶堆，此时，整个序列的最大值就是堆顶的根节点。

2.将其与末尾元素进行交换，此时末尾就为最大值。然后将剩余n-1个元素重新构造成一个堆，这样会得到n个元素的次小值。如此反复执行，便能得到一个有序序列了。

步骤一 构造初始堆。将给定无序序列构造成一个大顶堆（一般升序采用大顶堆，降序采用小顶堆)。

a.假设给定无序序列结构如下：

2.此时我们从最后一个非叶子结点开始（叶结点自然不用调整，第一个非叶子结点 arr.length/2-1=5/2-1=1，也就是下面的6结点），从左至右，从下至上进行调整。

4.找到第二个非叶节点4，由于[4,9,8]中9元素最大，4和9交换。

这时，交换导致了子根[4,5,6]结构混乱，继续调整，[4,5,6]中6最大，交换4和6。

此时，我们就将一个无需序列构造成了一个大顶堆。

步骤二 将堆顶元素与末尾元素进行交换，使末尾元素最大。然后继续调整堆，再将堆顶元素与末尾元素交换，得到第二大元素。如此反复进行交换、重建、交换。

a.将堆顶元素9和末尾元素4进行交换

b.重新调整结构，使其继续满足堆定义

c.再将堆顶元素8与末尾元素5进行交换，得到第二大元素8

后续过程，继续进行调整，交换，如此反复进行，最终使得整个序列有序。

再简单总结下堆排序的基本思路：

a.将无需序列构建成一个堆，根据升序/降序需求选择大顶堆/小顶堆;

b.将堆顶元素与末尾元素交换，将最大元素"沉"到数组末端;

c.重新调整结构，使其满足堆定义，然后继续交换堆顶元素与当前末尾元素，反复执行调整、交换步骤，直到整个序列有序。

时间复杂度分析：

堆排序是一种选择排序，整体主要由构建初始堆、交换堆顶元素和末尾元素并重建堆两部分组成。

1.其中构建初始堆经推导复杂度为，在交换并重建堆的过程中，需交换n-1次。

2.而重建堆的过程中，根据完全二叉树的性质，交换次数为逐步递减，近似为。

3.所以堆排序时间复杂度一般认为就是。

稳定性分析：

不稳定。

//堆排序 
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
using namespace std;
void swap(int& a,int &b)
{
	int tmp = a;
	a = b;
	b = tmp;
}
void siftAdjust(int elem[],int low,int high)
//elem[low...high]中除了elem[low]以外都满足堆排序
//调整elem[low]使得elem[low...high]成为大顶堆
{
	for(int f=low,i=2*low+1;i<=high;i=2*i+1)
	{	//f是被调整节点，i是f的最大孩子 
		if(i<high && elem[i]<elem[i+1])
		{//如果右孩子更大,i指向右孩子 
			i++;
		}
		if(elem[f]>elem[i])
		{
			break;//已经是大顶堆了 
		 } 
		 swap(elem[f],elem[i]); //交换两个元素
		 f = i; //称为新的调整节点 
	}
 } 
void heapSort(int elem[],int n)
{
	int i;
	for(i=(n-2)/2;i>=0;i--)
	{
		//将elem[0...n-1]调整为大顶堆 
		siftAdjust(elem,i,n-1);
	}
	for(int i=n-1;i>0;i--)
	{//第i趟堆排序 
		swap(elem[0],elem[i]);
		//将堆顶元素和当前未经排序的子序列elem[0...i]中的最后一个元素交换 
		siftAdjust(elem,0,i-1);
		//将elem[0...i-1]重新调整成大顶堆 
	 } 
}
 int main(void)
{
	int n = 10;
	int arr[10] = {0};
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		arr[i]=rand()%100;
	}
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		cout<<arr[i]<<" ";
	}
	cout<<endl; 
	heapSort(arr,n);
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		cout<<arr[i]<<" ";
	}
	return 0;
}

参考链接：

https://www.cnblogs.com/chengxiao/p/6129630.html

https://blog.csdn.net/hellozhxy/article/details/79911867