一文读懂感知机模型

很多人第一次学习机器学习，就学的是感知机（Perceptron）这个模型。感知机模型虽然简单，但是包含的方法确实后面很多模型常常用到的，例如神经网络、支持向量机等。

本文就用最简单的方式，从该模型背景出发，对其原理进行推导。文中特别介绍了感知机的对偶形式，对我们学习支持向量机很有益处，可以好好体会感知机和支持向量机的区别与联系。

1 问题提出

假设在二维空间中我们有一些散点，这些散点属于不同的类，那我们该怎么样区分这些点呢？或者说按照什么样的规则分开这些点呢？我们首先想到的应该是画一条线来进行区分。

如下图所示，红色的线的上部为一类，下部分为一类。很简单不是吗？如果我们下图建立坐标，就可以很容易的求得直线的解析式F(X),F(X)>0为一类，F(X)<0又为另一类。倘若我们的空间为N维呢，情况又会怎么样呢？于是我们提出了感知机模型，简单来说，就是找一个直线或者平面将数据分隔开

2 感知机模型初探

2.1 感知机模型的定义

一中的 f(x)就是感知机的最简单形式，现在假设输入空间为N维，输入空间为y = {+1， -1}，我们定义函数：

f(x) = sign(wx+b)

该函数便称为感知机，其中w与b是感知机模型参数，w为权值(N维)，b为偏置，sign()函数即符号函数，在x大于0时为正，x小于0时结果为负，该函数的最大作用是取某个数的符号，在机器学习中，常常用于二分类问题。

2.2 感知机模型的细节

感知机模型定义为f(x) = sign(wx+b)，其函数内部的 wx+b，当其 wx+b=0 时表示为一个超平面，具体超平面是什么在2.3中有讲解，注意，此处w和x都是N维的。

我们将数据x代入 wx+b 中，若 wx+b>0 表明其在超平面上方，值 wx+b<0 表示其在超平面下方( 类别不同，符号不同 )。因此我们在外面加上 sign() 函数，取其正负号，其结果便能够表示数据的类别。

同时要理解模型是什么？在二分类问题中，将给定数据输入模型中，能够输出数据的类别。感知机模型就是如此，同时感知机模型的本质是一个判别模型，仅仅能够判断数据的类别。与之相对的是生成模型，具体的定义可以看本人的生成对抗网络（GAN）论文原文详解一文。

但是模型不是天生就有的，我们需要找到最合适的 w 和 b 才能将数据很好的分割开来，而怎么找到合适的 w 和 b 呢？就需要对模型进行训练了，具体的训练过程见第三节。

2.3 感知机模型的适用范围

在1中我们可以注意到，两类样本都是可以通过直线下进行分割的，这样数据集称为线性可分数据集，扩展到N维，我们定义：

简而言之，假如我们的数据能够被wx+b=0的超平面分隔开，则称为数据集线性可分，这里超平面的概念初学者可能会难理解，其实质就是数据能够被这个函数分隔在左右两边，wx+b>0是一类，wx+b<0又是一类。

wx+b=0在二维空间中是一条直线，三维空间中是一个平面，在多为空间中就可以被称为超平面了，因为我们根本无法想象了，想象不出来就记得这个函数公式就好啦。

指导线性可分的概念，我们也就给出感知机的适用范围。感知机就必须要求数据集是线性可分的， 不然就无法确定一个超平面了。

3 感知机学习算法

定义好模型之后，我们需要对模型进行训练，以得出合适的参数。在李航的《统计学习法》一书中，统计学习有三大要素，分别是模型、策略和方法。这是一个很好的学习框架，当解决一类机器学习问题的时候，脑中就应该有这三个概念，再在这个框架上添砖加瓦。

3.1 模型

进行统计学习，首先考虑的问题就是要学习什么样的模型。李航《机器学习》一书中，将模型定义为要学习的条件概率分布和决策函数，两种模型分别对应概率模型的非概率模型。在学习机器学习过程中，要慢慢的理解二者的差别。

个人理解使用模型的最根本目标就是能够拟合现有数据的特征。例如在感知机中可以将正负样本分开，在聚类算法中可以吧同类的点划分在一起等，都是能够拟合现有数据的特征，并依据我们所得到的这个模型，去对一些未知的数据进行分类、聚类等操作

本文的感知机模型目标就是找到一个超平面，以此来分割正负样本点，故是一种非概率模型。再第二节中，我们知道了感知机模型的决策函数定义为：
$$f(x)=sign(wx+b)$$ 其中的 $$sign(x)=\{\begin{array}{c}+1,x⩾0\\ -1,x⩽0\end{array}$$

3.2 学习策略

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