hdu4565 So Easy!(矩阵快速幂)

题意:
告诉你a,b,n,m,求

0<a,m<2^15 , (a-1)^2<b<a^2 , 0<b,n<2^31
解题思路:
    我们首先对(a+sqrt(b))^n进行处理, a+sqrt(b))^n的展开式我们可以知道
(a+sqrt(b))^n = Xn + Yn * sqrt(b);
那么
( a + sqrt( b ) )^( n + 1 ) = ( a + sqrt( b ) ) * ( Xn + Yn * sqrt(b) ) = ( a * Xn + b * Yn ) + ( a * Yn + Xn ) * sqrt( b );
Xn +1 = ( a * Xn + b * Yn )
Yn +1 = ( a * Yn + Xn )
将其转化为矩阵,则

递推下去可以得到

所以
Xn = a * X 0 + b * Y 0;
Yn = X 0 + a * Y 0;

由于 (a-1)^2<b<a^2 ,
那么 0 < ( a - sqrt( b ) )^ n < 1
 又   ( a + sqrt( b ) )^ n + ( a - sqrt( b ) )^ n = 2 * Xn
那么 ( a + sqrt( b ) )^ n 向上取整的值就是 2 * Xn
最终
    Sn = ( 2 * Xn )% m;

参考代码:
#include <iostream>
#include <math.h>
#include <stdio.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
struct Matrix{
	ll mat[2][2];
};
Matrix mul(Matrix a,Matrix b,ll mod){
	Matrix ans;
	for (int i=0;i<2;i++){
		for (int j=0;j<2;j++){
			ans.mat[i][j]=0;
			for (int k=0;k<2;k++){
				ans.mat[i][j]=(ans.mat[i][j]+a.mat[i][k]*b.mat[k][j]);
				ans.mat[i][j]%=mod;
			}
		}
	}
	return ans;
}
Matrix Init(){
	Matrix ans;
	for (int i=0;i<2;i++){
		for (int j=0;j<2;j++){
			if (i==j)
				ans.mat[i][j]=1;
			else
				ans.mat[i][j]=0;
		}
	}
	return ans;
}
Matrix exp(Matrix a,ll k,ll m){
	Matrix ans=Init();
	while (k){
		if (k&1)
			ans=mul(ans,a,m);
		a=mul(a,a,m);
		k>>=1;
	}
	return ans;
}
int main(){
	Matrix M;
	ll a,b,n;
	ll m;
	while (~scanf("%lld%lld%lld%lld",&a,&b,&n,&m)){
		M.mat[0][0]=M.mat[1][1]=a;
		M.mat[0][1]=b;
		M.mat[1][0]=1;
		Matrix ans=exp(M,n,m);
		/*
		for (int i=0;i<2;i++){
			for (int j=0;j<2;j++)
				cout<<ans.mat[i][j]<<" ";
			cout<<endl;
		}
		*/
		ll x=ans.mat[0][0];

		cout<<(2*x)%m<<endl;
	}
	return 0;
}

### HDU 2544 题目分析 HDU 2544 是关于最短路径的经典问题,可以通过多种方法解决,其中包括基于邻接矩阵的 Floyd-Warshall 算法。以下是针对该问题的具体解答。 --- #### 基于邻接矩阵的 Floyd-Warshall 实现 Floyd-Warshall 算法是一种动态规划算法,适用于计算任意两点之间的最短路径。它的时间复杂度为 \( O(V^3) \),其中 \( V \) 表示节点的数量。对于本题中的数据规模 (\( N \leq 100 \)),此算法完全适用。 下面是具体的实现方式: ```cpp #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; const int INF = 0x3f3f3f3f; int dist[105][105]; int n, m; void floyd() { for (int k = 1; k <= n; ++k) { // 中间节点 for (int i = 1; i <= n; ++i) { // 起始节点 for (int j = 1; j <= n; ++j) { // 结束节点 if (dist[i][k] != INF && dist[k][j] != INF) { dist[i][j] = min(dist[i][j], dist[i][k] + dist[k][j]); } } } } } int main() { while (cin >> n >> m && (n || m)) { // 初始化邻接矩阵 for (int i = 1; i <= n; ++i) { for (int j = 1; j <= n; ++j) { if (i == j) dist[i][j] = 0; else dist[i][j] = INF; } } // 输入边的信息并更新邻接矩阵 for (int i = 0; i < m; ++i) { int u, v, w; cin >> u >> v >> w; dist[u][v] = min(dist[u][v], w); dist[v][u] = min(dist[v][u], w); // 如果是有向图,则去掉这一行 } // 执行 Floyd-Warshall 算法 floyd(); // 输出起点到终点的最短距离 cout << (dist[1][n] >= INF ? -1 : dist[1][n]) << endl; } return 0; } ``` --- #### 关键点解析 1. **邻接矩阵初始化** 使用二维数组 `dist` 存储每一对节点间的最小距离。初始状态下,设所有节点对的距离为无穷大 (`INF`),而同一节点自身的距离为零[^4]。 2. **输入处理** 对于每条边 `(u, v)` 和权重 `w`,将其存储至邻接矩阵中,并取较小值以防止重边的影响[^4]。 3. **核心逻辑** Floyd-Warshall 的核心在于三重循环:依次尝试通过中间节点优化其他两节点间的距离关系。具体而言,若从节点 \( i \) 到 \( j \) 可经由 \( k \) 达成更优解,则更新对应位置的值[^4]。 4. **边界条件** 若最终得到的结果仍为无穷大(即无法连通),则返回 `-1`;否则输出实际距离[^4]。 --- #### 性能评估 由于题目限定 \( N \leq 100 \),因此 \( O(N^3) \) 的时间复杂度完全可以接受。此外,空间需求也较低,适合此类场景下的应用。 ---
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