伽罗华域(伽罗瓦域，Galois Field，GF，有限域)

这里写自定义目录标题域有限域有限域上的运算 域 域F由元素和加法、乘法两种运算组成，且每种运算下都有逆运算（减法、除法）存在。域F内同时满足加法和乘法运算的各个元素需要满足以下条件： （1）对于加法和乘法运算，F是封闭的，即F内任意两个元素之和或之积仍在F内； （2）对每种运算，域内元素通常满足结合律和交换律； （3）满足通常的分配律； （4）F内的任何元素u都有一个唯一的加法恒元0和乘法恒元1，满足以下关系：u+0=u，u x1=u。 （5）域内的每个元素u都有一个唯一的加法逆元-u，且：u+（-u）=0

本文讲一下有限域（Galios field）的加减乘除计算规则，主要以GF(2^3)为例来展示加减乘除的运算过程。

伽罗华(伽罗瓦)域名字听起来挺酷的，其实就是有限域。域这个东西由于他能够进行满足加减乘除四则运算，在加密解密、编码解码当中应用非常广泛。但是我们常见的实数域却无法直接在计算机中精确的保存，因此有限域这类能够支持四则运算而且能够用有限的编码精确保存的东西就非常有用了。(顺带提一句，伽罗瓦这个人的生平很有意思，如果他活久点，说不能成为跟高斯、欧拉一样档次的人。。。)域域的定义在各种与离散数学相关的地方...

本文介绍了有限域的概念，并包含大量栗子，帮助你理解有限域上的运算过程和运算规则。

域的性质：         群和域在数学上的概念就不解释，可以参考维基百科。当然也可以参考《密码编码学与网络安全》这书的有限域一章。形象地说，域有这样一个性质：在加法和乘法上具有封闭性。也就是说对域中的元素进行加法或乘法运算后的结果仍然是域中的元素。有一点要注意，域里面的乘法和加法不一定是我们平常使用的乘法和加法。可以把C语言中的与运算和异或运算分别定义成加法和乘法。但习惯上，仍然使用符号+

参考链接：https://blog.csdn.net/luotuo44/article/details/41645597 参考链接：https://blog.csdn.net/shelldon/article/details/54729687 伽罗华域定义 我对伽罗华域的理解就是，给定一个域，比如4位，在4位之内的数字，不管加、减、乘、除，结果都在域里面，不会溢出，并且。运算时可逆的，能够还原...

一、前言伽罗瓦域上的乘法在包括加/解密编码和存储编码中经常使用，常见的AES 和Reed-Solomon编码就使用了伽罗瓦域GF(28) 中的运算。以2 或者2w形式的伽罗瓦域来说，加减法都是异或运算，乘法相对较复杂一些，本文就GF(2w)上有限域的乘法运算和优化进行分析。现代计算机是为二进制普通运算所设计，对伽罗瓦域计算最多仅有指令集上的优化，而且仅限于某些处理器，因此在更高层次上优化伽罗瓦域上...

GF(2m)域当m=8时，本原多项式为P(x) = x8+ x4+x3+ x2+ 1 .这个很重要，因为一切化解都来源与此式。在伽罗华域中,加法等同于对应位异或,所以现在把α定义为P(x) = 0的根，即α8＋α4＋α3＋α2＋1 = 0即可以得到 α8=α4＋α3＋α2＋1接着先给出下表付推导过程下面就按以下规则进行乘法运算0=000 就是01=001 就是12=0010就是x+0=x3...

GF(q)是一个包含所有可能的q个元素的集合，其中元素可以用整数0到q-1进行标识。在GF(q)中，任意一个元素a可以用Galios域GF(2)中的二进制位向量表示。（4）编码：x=G·c，其中x为n维的码字向量，c为k维的信息向量。（3）对于任何a,b,c∈Fq，都有(a＋b)＋c=a＋(b＋c)和(a·b)·c=a·(b·c)；（5）对于任何a∈Fq，都存在-b∈Fq，使得a＋b=0和a·b=1。（4）对于任何a∈Fq，都有a＋0=a和a·1=a；（2）减法：a-b=(a＋(q-b))mod q；

http://blog.csdn.net/MengBoy/archive/2007/02/26/1514445.aspx 

GF(2m)域当m=8时，本原多项式为P(x) = x8 + x4 +x3 + x2 + 1 在伽罗华域中,加法等同于对应位异或 现在把α定义为P(x) = 0的根，即α8＋α4＋α3＋α2＋1 = 0即可以得到 α8=α4＋α3＋α2＋1 乘法运算 3*7=(x+1)*(x^2+x+1)=x*x^2+x*x+x+x^2+x+1=x^3+1 (模2运算中x+x=0 and x^2+x^

今天在打AES的代码，打到列混合变换的时候对有限域的乘法不是很熟悉，但是查了很多资料结合书本最后算是弄会了，分享一下自己的心得 ~~ ...