曲线拟合的最小二乘法

wm86

于 2012-09-27 15:06:44 发布

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一般的最小二乘逼近(曲线拟合的最小二乘法)

最小二乘法的一般提法是:对给定的一组数据

$(x_{i},y_{i})$ (i=0,1,...,m),要求在函数类 $\varphi = \left \{ \varphi_0, \varphi_1, ..., \varphi_n \right \}$

中找一个函数 $y=S^{*}(x)$ ，使误差平方和

$\left \| \delta \right \|_{2}^{2}=\sum_{i=0}^{m}\delta _{i}^{2}=\sum_{i=0}^{m}\left [ S^{*}(x_{i})-y_{i} \right ]^{2}=_{S(x)\in \varphi }^{min}\sum_{i=0}^{m}\left [S(x_{i})-y_{i} \right ]^{2}$

其中 $S(x)=a_{0}\varphi_{0}(x)+a_{1}\varphi_{1}(x)+...+a_{n}\varphi_{n}(x)$ (n<m)

带权的最小二乘法：

$\left \| \delta\right \|_{2}^{2}=\sum_{i=0}^{m}\omega (x_{i})\left [ S(x_{i})-f(x_{i}) \right ]^{2}$

其中ω(x)≥0是［a,b］上的权函数。

用最小二乘法求曲线拟合的问题，就是在S(x)中求一函数 $y=S^{*}(x)$ ，使 $\left \| \delta \right \| _{2}^{2}$ 取的最小。它转化为求多元函数

$I(a_{0},a_{1},...a_{n})=\sum_{i=0}^{m}\omega (x_{i}) \sum_{j=0}^{n}\left [ a_{j}\varphi_{j}(x_{i})-f(x_{i}) \right ]^{2}$

的极小点 $(a_{0}^{*},a_{1}^{*},...,a_{n}^{*})$ 问题。

由求多元函数极值的必要条件，有

$\frac{\partial I}{\partial a_{k}}=2\sum_{i=0}^{m}\omega(x_{i})\left [ \sum_{j=0}^{n} a_{j}\varphi _{j}(x_{i})-f(x_{i}) \right ] \varphi_{k}(x_{i})=0$

(k=0,1,...,n)

若记

$(\varphi_{j},\varphi_{k})=\sum_{i=0}^{m} \omega(x_{i}) \varphi_{j}(x_{i}) \varphi_{k}(x_{i})$

$(f,\varphi_{k})=\sum_{i=0}^{m} \omega(x_{i}) f(x_{i}) \varphi_{k}(x_{i}) \equiv d_{k}$

(k=0,1,...,n)

则上式可写为:

$\sum_{j=0}^{n} (\varphi_{k}, \varphi_{j}) = d_{k}$

(k=0,1,...,n);

这个方程称为法方程，矩阵形式
G a=d.
其中

   $a=(a_{0},a_{1},...,a_{n})^{T}$ ,
   $d=(d_{0},d_{1},...,d_{n})^{T}$ ,
   $G=\begin{bmatrix} (\varphi_{0},\varphi_{0}),(\varphi_{0},\varphi_{1}) ... (\varphi_{0},\varphi_{n}) \\ (\varphi_{1},\varphi_{0}),(\varphi_{1},\varphi_{1}) ... (\varphi_{1},\varphi_{n}) \\ ...,...,... \\ (\varphi_{n},\varphi_{0}),(\varphi_{n},\varphi_{1}) ... (\varphi_{n},\varphi_{n}) \end{bmatrix}$

由于 $\varphi_{0},\varphi_{1},...,\varphi_{n}$ 线性无关，故 $\left | G \right | \neq 0$ ，方程存在唯一解 $a_{k} = a_{k}^{*}$ (k=0,1,...,n),

从而得到函数f(x)的最小二乘解为

$S^{*}(x) = a_{0}^{*} \varphi_{0}(x) + a_{1}^{*} \varphi_{1}(x) + ... + a_{n}^{*} \varphi_{n}(x)$

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