抽象代数学习笔记（9）阶数

在抽象代数中有两个概念可以被称为“阶数”：

群 $G$ 中元素的个数称为 $G$ 的阶数，当 $G$ 中有无限多个元素，称 $G$ 是无限阶的；当 $G$ 中元素个数有限，称 $G$ 是有限阶的。

对于群 $G$ 的元素 $a$，如果有非负整数 $n$，使得 $a^{n}=e$，且 $n$ 为使上等式成立的最小的非负整数，则说a是有限阶的，阶数为 $n$ ，如果找不到这样的数，则说 $a$ 是无限阶的。也有人把元素 $a$ 阶数称为元素的周期。

为了讨论群的阶数和元素的阶数，群的阶数与其子群阶数之间的关系，需要引入陪集的概念。陪集在抽象代数中有着重要的地位，不仅是在研究阶数，在研究不变子群中也能发挥很大作用。

设 $H$ 是群 $G$ 的一个子群，$H$ 在群 $G$ 中确定关系一如下，$a,b\in G,a~b$，当而且仅当 $ab^{-1}$，称~是H在G中确定的右关系。

注意，~是一个等价关系，首先 $aa^{-1}=e\in G$ 说明了~的反身性。其次，$(ab^{-1})^{-1}=ba^{-1}\in H$，说明了~具有对称性。最后，$(ab^{-1})(bc^{-1})=ac^{-1}$ ，说明了~的传递性。综上，~是一个等价关系。

对群 $G$ 之任意非空子集 $A,B$，称 $G$ 的子集

$${g\in G|g=ab,a\in A，b\in B}$$
为$A$与$B$的乘积，记为$AB$。

当$A$为子群，$B={b}$ 时，记$Ab=AB$，并称$Ab$是$A$在$G$中的一个右陪集。
$A={a}$，$B$为子群，则记$aB=AB$，并称$aB$为$B$在$G$中的一个左陪集。

现在来说说左右陪集和左右关系之间的联系：

设 $H$ 是 $G$ 的子群，~是 $H$ 在 $G$ 中确定的右关系，那么元素 $a\in G$ 在等价关系~之下的等价类恰好是H的右陪集 $Ha$ 。

按照等价类的定义，$a$ 的等价类是 $G$ 的子集 $S_a=\{b\in G|b~a\}$，如果 $b\in S_a$ ，即 $b$ ~ $a$ , $ba^{-1}\in H$ ，令 $h=ba^{-1}$ ，则 $b=ha\in Ha$ ，这说明 $S_a\subseteq Ha$ ；反之若 $b\in Ha,b=ha$ ，那么 $ba^{-1}=h\in H,b~a$ ，从而 $b\in S_a$ 。这说明 $Ha\subseteq S_a$ 。综上， $Ha=S_a$ 。

现在，我们可以尝试着在群 $G$ 的一个子集 $H$ 和 $Ha$ 之间建立一个双射：

$G$ 是个有限群.那么 $G$ 的任意子群 $H$ 的阶数一定整除 $G$ 的阶数。

由于群 $H$ 的右陪集恰好是等价关系~的等价类，那么两个陪集要么相等要么不相交。因为 $G$ 是个有限群，那么它必然含有有限个H的右陪集。我们可以取 $a_1,a_2,...,a_k$ 为等价关系~下的一个完全集，则

阶数的概念已经介绍完了，我们比较侧重于群的阶数与元素阶数之间的关系，不过，他们本身还有一些需要注意的地方，这里只举个例子，其余的不再赘述：
假设群 $G$ 的元素 $a，b$ 的阶数都是有限的，但是元素 $ab$ 的阶数可能是无限的。例如所有二维旋转变换构成的群中，顺时针旋转3°和顺时针旋转4°的变换阶数分别是120和90，但是顺时针旋转7°的阶数是无限的。