抽象代数学习笔记（6）群与子群

群是一种很特殊且充满对称性的代数结构，这里我们先不关注这些对称性，首先抽象地引入群的定义。 一、 群 　　定义　　在非空集合$G=\{ a,b,c,...\}$中规定一种元素间的代数运算，称为“乘法”。设$a,b\in G$，$a$与$b$相乘记作$a\circ b$，如果乘法使集合$G$满足以下四条公理，称$G$是一个群： 　　　　　　(i) 封闭性　　$a,b\in G\qu...

定义集合映射 f:Zn→Znf:\mathbb{Z_n}\rightarrow \mathbb{Z_n}f:Zn​→Zn​，其中 f(x)=x⋅m(modn),x∈Zn f(x)=x\cdot m\pmod n,x \in\mathbb{Z_n} f(x)=x⋅m(modn),x∈Zn​ 当gcd⁡(m,n)=1\gcd(m,n)=1gcd(m,n)=1时，不妨设 m<nm < nm<n,则当 k1<k2k_1 < k_2k1​<k2​，且 k1,k2<nk_1,

相信大家对群是既熟悉又陌生吧，可能在很多地方都有听过它的名号，但是让具体去描述它是个什么东西，可能又说不出个所以然。在介绍群的定义之前，我们需要先了解一些更加基础的概念。集合与元素，大家第一次听到这两个概念应该是可以一直向前追溯的小学的。集合是“确定的一堆东西”，而集合里的“东西”则称之为元素，并且集合里面的东西可以是任意的东西。第一颗🌰：我们定义一个集合 ，并且其中的元素都是 10 的倍数，于是这个集合为 ，里面会有无限多个元素，这样的集合也叫做无限集合。

代数系统 ⟨G,∗⟩：G 是非空集合，* 是定义在 G 上的二元运算。条件封闭性：运算 * 在 G 上是封闭的。结合性：运算 * 是可结合的。幺元存在：存在元素 e（幺元），使得对任意 x∈G，都有 e∗x=x∗e=x。逆元存在：对每个元素 x∈G，存在逆元 x−1。有限群：若 G 是有限集，则 ⟨G,∗⟩ 为有限群，阶数为 |G|。无限群：若 G 是无限集，则 ⟨G,∗⟩ 为无限群。置换：集合 S 到自身的双射。等幂元：若 a∗a=a，则 a 为等幂元。子群。

业余爱好小白的群论自学笔记。没有目的，为了学习而学习。用自己能够理解的方式沿着自己的思路进行整理记述（东施效颦小平邦彦的抄书学数学），不求严谨完备，但求逻辑连贯。 上一篇（群论基础速成（1））介绍了群的定义、同态和同构、有限群、循环群以及两种群的可视化技术。 对群的深入分析意味着要分析它们具有什么样的组织结构，彼此之间有什么联系，如何通过较小的群来构建较大的群，如何剖析较大的群从而揭露蕴含其中的较小的群。本篇将朝向这个目标讨论子群、陪集、正规...

第一种方法：增量构造法，一次选出一个元素放到集合中，程序如下： #include #include #include void print_subset(int n,int *A,int cur) { for(int i = 0; i <cur; i++) printf("%d ",A[i]); printf("\n"); int s = cur ? A[cur

上一次提到“商”这个字眼，还是在讲商集的时候。我们将商集看做是以等价关系对集合的一个划分。现在我们更进一步，提出商群的概念。 如果 NNN 是不变子群，那么利用 NNN 可以导出　GGG 上的一个等价关系，　a&nbsp;ba&nbsp;ba~b 当且仅当　a−1b∈Na−1b∈Na^{-1}b\in N ，也就是 a,ba,ba,b　同属于　NNN 的一个左陪集。 （证明： 首先a−1a∈...

刚开始入门学习全同态加密 (Fully Homomorphic Encryption, FHE)，对一些必要的抽象代数（近世代数）名词进行整理，供以后学习查阅，因为参考资料较杂，以及本人水平有限，可能存在较多错误，请予以指正

课堂笔记加自己对子群和陪集分解的理解

群论的笔记——基础和一些重要子群

§1.3 子群与商群{\color{blue} \text{\S 1.3 子群与商群}}§1.3 子群与商群 抽象代数研究代数体系，常常通过子体系与商体系去研究，它们是子集合与商集合的推广，对群来说，就是子群与商群。 定义1.3.1设H是群G的一个非空子集，如果H对于G的运算也构成群，{\color{blue}定义1.3.1 \quad}设H是群G的一个非空子集，如果H对于G的...

第十章 群与环

设$A,B$是$G$的子群.则$A\bigcup B$是$G$的子群的充要条件是$A\subseteq B$或$B\subseteq A$.证明：$\Leftarrow$:这是显然的.$\Rightarrow$:假若$\exists b\in B$,使得$b\not\in A$,现在我要证明$A\subseteq B$.否则若存在$a\in A,a\not\in B$.则可得$ab\not\in...

例1：取S3的子集S = {(12),(123)}，S的生成子群包含哪些元？一个群的两个不同的子集会不会生成相同的子群？解：（1）S的生成子群就是S3。证明[有不理解之处可以回头看看第27篇笔记中生成子群的定义]：任取m,n∈Z，对于m，当m为奇数时，(12)ᵐ = (12)，当m为偶数时，(12)ᵐ = (1)；对于n，当n=3k时，(123)ⁿ = (1)，当n=3k+1时，(123)ⁿ = (123)，当n=3k+2时，(123)ⁿ = (132)；

复数可以写成(A + Bi)的常规形式，其中A是实部，B是虚部，i是虚数单位，满足i2 = -1；也可以写成极坐标下的指数形式(R*e(Pi))，其中R是复数模，P是辐角，i是虚数单位，其等价于三角形式(R(cos(P) + isin(P))。 现给定两个复数的R和P，要求输出两数乘积的常规形式。 输入格式： 输入在一行中依次给出两个复数的R1, P1, R2, P2，数字间以空格分隔

复数运算 复数是形如 a ＋ b i的数。式中a，b 为 实数，i是一个满足i^2 ＝－1的数，因为任何实数的平方不等于－1，所以i不是实数，而是实数以外的新的数。 在复数a＋bi中，a称为复数的实部，b称为复数的虚部，i称为虚数单位。当虚部等于零时，这个复数就是实数；当虚部不等于零时，这个复数称为虚数，虚数的实部如果等于零，则称为纯虚数。由...