一个经典的算法问题：在一组硬币中找出一枚假币，假币的重量比其他真币轻-CSDN博客

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图片内容描述了一个经典的算法问题：在一组硬币中找出一枚假币，假币的重量比其他真币轻。问题要求使用最少的称量次数来找出这枚假币。

问题说明：

有n枚硬币，其中一枚是假币，假币的重量较轻。
只有一个天平，要求用尽量少的比较次数找出这枚假币。

问题分析：

将n枚硬币分成相等的两部分：
1. 当n为偶数时，将前后两部分（即1…n/2和n/2+1…n）放在天平的两端，较轻的一端里有假币，继续在较轻的这部分硬币中用同样的方法找出假币。
2. 当n为奇数时，将前两部分（即1…(n-1)/2和(n+1)/2+1…n）放在天平的两端，较轻的一端里有假币，继续在较轻的这部分硬币中用同样的方法找出假币；若两端重量相等，则中间的硬币，即第(n+1)/2枚硬币是假币。

C代码：

图片中提到了C语言实现的代码，但没有具体展示代码内容。通常，解决这个问题的C代码会包含递归函数，用于不断将硬币分组并比较，直到找到假币。

这个问题是一个典型的递归问题，通过不断将问题规模减半，可以有效地减少比较次数，从而在对数时间内解决问题。

问题1：完善代码（示例代码结构）

以下是完善后的C语言代码示例：

#include <stdio.h>

// 查找假币函数
int findFakeCoin(int coins[], int start, int end) {
    if (start == end) {
        return start;
    }
    int n = end - start + 1;
    if (n % 2 == 0) {
        int sum1 = 0, sum2 = 0;
        for (int i = start; i < start + n / 2; i++) {
            sum1 += coins[i];
        }
        for (int i = start + n / 2; i <= end; i++) {
            sum2 += coins[i];
        }
        if (sum1 < sum2) {
            return findFakeCoin(coins, start, start + n / 2 - 1);
        } else {
            return findFakeCoin(coins, start + n / 2, end);
        }
    } else {
        int sum1 = 0, sum2 = 0;
        for (int i = start; i < start + (n - 1) / 2; i++) {
            sum1 += coins[i];
        }
        for (int i = start + (n + 1) / 2; i <= end; i++) {
            sum2 += coins[i];
        }
        if (sum1 < sum2) {
            return findFakeCoin(coins, start, start + (n - 1) / 2 - 1);
        } else if (sum1 > sum2) {
            return findFakeCoin(coins, start + (n + 1) / 2, end);
        } else {
            return start + (n - 1) / 2;
        }
    }
}
int main() {
    int n;
    printf("请输入硬币数量: ");
    scanf("%d", &n);
    int coins[n];
    printf("请依次输入每枚硬币的重量: ");
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        scanf("%d", &coins[i]);
    }
    int fakeCoinIndex = findFakeCoin(coins, 0, n - 1);
    printf("假币的下标是 %d\n", fakeCoinIndex);
    return 0;
}

问题2：时间复杂度分析

该算法采用分治策略，每次将硬币数量大致减半进行比较。设硬币总数为 (n)，最多需要比较的次数为 (\log_2 n) ，所以时间复杂度为 (O(\log n)) 。因为每次递归调用时，问题规模都近似变为原来的一半，符合对数时间复杂度的特征。

问题3：空间复杂度分析

在递归过程中，系统需要为每一层递归调用分配栈空间。由于递归深度最大为 (\log_2 n) ，所以空间复杂度为 (O(\log n)) 。这里不考虑存储硬币重量数组占用的空间（因为这是输入规模决定的常规空间占用），主要关注递归调用栈占用的额外空间。

代码实现

以下是用C语言实现该假币查找问题的代码：

#include <stdio.h>

// 查找假币的函数
int findFakeCoin(int coins[], int left, int right) {
    if (left == right) {
        return left;
    }
    int n = right - left + 1;
    if (n % 2 == 0) {
        int sum1 = 0, sum2 = 0;
        for (int i = left; i < left + n / 2; i++) {
            sum1 += coins[i];
        }
        for (int i = left + n / 2; i <= right; i++) {
            sum2 += coins[i];
        }
        if (sum1 < sum2) {
            return findFakeCoin(coins, left, left + n / 2 - 1);
        } else {
            return findFakeCoin(coins, left + n / 2, right);
        }
    } else {
        int sum1 = 0, sum2 = 0;
        for (int i = left; i < left + (n - 1) / 2; i++) {
            sum1 += coins[i];
        }
        for (int i = left + (n + 1) / 2; i <= right; i++) {
            sum2 += coins[i];
        }
        if (sum1 < sum2) {
            return findFakeCoin(coins, left, left + (n - 1) / 2 - 1);
        } else if (sum1 > sum2) {
            return findFakeCoin(coins, left + (n + 1) / 2, right);
        } else {
            return left + (n - 1) / 2;
        }
    }
}
int main() {
    int n;
    printf("请输入硬币数量: ");
    scanf("%d", &n);
    int coins[n];
    printf("请依次输入每枚硬币的重量: ");
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        scanf("%d", &coins[i]);
    }
    int fakeCoinIndex = findFakeCoin(coins, 0, n - 1);
    printf("假币的下标是 %d\n", fakeCoinIndex);
    return 0;
}

代码解释

findFakeCoin函数：
- 参数：coins 是存储硬币重量的数组，left 和 right 分别表示当前要处理的硬币范围的左右边界。
- 递归终止条件：当 left 和 right 相等时，说明只剩下一枚硬币，这枚就是假币，直接返回其下标。
- 偶数情况：将硬币分为两部分，分别计算两部分重量和 sum1、sum2，根据重量和大小递归处理较轻的那部分。
- 奇数情况：同样分为两部分，计算重量和，若两部分重量不等，递归处理较轻部分；若相等，中间那枚（left + (n - 1) / 2 位置）就是假币。
main函数：用于获取用户输入的硬币数量和每枚硬币的重量，调用 findFakeCoin 函数找到假币下标并输出。

时间复杂度分析

每次递归调用都将问题规模大致减半，设硬币总数为 (n) ，递归深度为 (k) ，则有 (n/2^k = 1) ，解得 (k = \log_2 n) ，所以时间复杂度为 (O(\log n)) 。

空间复杂度分析

由于递归调用栈的深度最大为 (\log_2 n) ，所以空间复杂度为 (O(\log n)) ，这里不考虑存储硬币重量数组占用的空间。
根据您提供的问题描述，下面是一个可能的C语言实现，用于找出n枚硬币中的假币。这个实现使用了递归方法，每次将硬币分成尽可能相等的两部分进行比较。

#include <stdio.h>

// 函数声明
int findFakeCoin(int coins[], int start, int end);

int main() {
    int coins[] = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}; // 示例硬币数组
    int n = sizeof(coins) / sizeof(coins[0]);
    int result = findFakeCoin(coins, 0, n - 1);
    printf("The fake coin is at index: %d\n", result);
    return 0;
}

// 函数定义，用于找出假币
int findFakeCoin(int coins[], int start, int end) {
    if (start == end) {
        return start; // 如果只有一个硬币，那么它就是假币
    }

    int mid = (start + end) / 2;
    int left = findFakeCoin(coins, start, mid);
    int right = findFakeCoin(coins, mid + 1, end);

    // 检查哪一部分包含假币
    if (left != -1) {
        return left;
    } else {
        return right;
    }
}

代码解释：

主函数 (main):
- 初始化一个硬币数组 coins。
- 调用 findFakeCoin 函数来找出假币的位置。
- 打印出假币的位置。
函数 findFakeCoin:
- 接受一个硬币数组和当前考虑的硬币范围（start 到 end）。
- 如果 start 和 end 相同，说明只剩下一个硬币，那么这个硬币就是假币，返回其索引。
- 计算中间位置 mid。
- 递归调用 findFakeCoin 函数分别在 start 到 mid 和 mid + 1 到 end 的范围内寻找假币。
- 如果在左边找到了假币，返回左边的结果；否则返回右边的结果。