贪心策略是一种在每一步选择中都采取在当前状态下最好或最优（即最有利）的选择

最新推荐文章于 2025-05-28 00:00:00 发布

Bol5261

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分类专栏： Structured(design engineering) Data(Structures Algorithms) 文章标签：算法

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图中的问题是关于贪心策略的应用。贪心策略是一种在每一步选择中都采取在当前状态下最好或最优（即最有利）的选择，从而希望导致结果是最好或最优的算法策略。

在给定的选项中：

A. 分数背包 - 贪心策略可以得到最优解。在分数背包问题中，我们可以根据物品的单位重量价值（价值/重量）来排序，并优先选择单位重量价值最高的物品，直到背包被装满。

B. 0-1 背包 - 贪心策略不一定能得到最优解。在0-1背包问题中，物品要么完全被选中，要么完全不被选中，贪心策略可能无法考虑到所有可能的组合，因此可能无法得到最优解。

C. 旅行商 - 这是一个经典的NP难问题，贪心策略通常无法得到最优解。旅行商问题需要找到访问每个城市一次并返回起点的最短路径，贪心策略可能会陷入局部最优解。

D. 最长公共子序列 - 贪心策略可以得到一个可行解，但不一定是最优解。最长公共子序列问题要求找到两个序列中最长的公共子序列，贪心策略可能会找到一个最长的公共子序列，但可能不是唯一的最优解。

因此，正确答案是 A、分数背包。在这个问题中，贪心策略可以得到最优解。

在图中的问题中，询问的是采用贪心策略求解哪个问题一定可以得到最优解。贪心策略在某些问题中可以保证找到全局最优解，而在另一些问题中则不能。

A. 分数背包：贪心策略可以得到最优解。在分数背包问题中，我们按照单位重量价值（价值/重量）对物品进行排序，然后按此顺序选择物品。如果背包空间不足以装下下一个物品，我们可以只装入能够装下的部分，因为价值与重量成正比，这样做可以得到最优解。

B. 0-1 背包：贪心策略不一定能得到最优解。在0-1背包问题中，我们不能分割物品，贪心策略可能会错过更优的组合。对于0-1背包问题，通常使用动态规划来找到最优解。

C. 旅行商问题：这是一个NP难问题，贪心策略通常无法得到最优解。贪心策略可能会找到局部最优解，但不是全局最优解。

D. 最长公共子序列：贪心策略可以得到一个可行解，但不一定是最优解。最长公共子序列问题中，贪心策略可能会找到一个有效的子序列，但不一定是最长的。

因此，正确答案是 A、分数背包。在这个问题中，贪心策略确实可以得到最优解，因为它总是选择当前最优的选择（即单位重量价值最高的物品），并且允许分割物品以最大化背包的利用率。对于其他选项，贪心策略可能无法保证得到最优解，可能需要更复杂的算法如动态规划或回溯法来解决。

贪心策略的核心是“局部最优推导全局最优”，这依赖于问题是否具有贪心选择性质（当前最优选择能导致全局最优）和最优子结构（问题的最优解包含子问题的最优解）。以下结合各选项再次梳理，强化理解：

问题类型	贪心策略能否得到最优解	核心原因
A. 分数背包	能	物品可分割，单位价值排序的贪心选择具有全局最优性（无后效性）。
B. 0-1背包	不能	物品不可分割，贪心无法枚举组合（如“高单位价值但重量大”与“低单位价值但重量小”的取舍）。
C. 旅行商	不能	NP难问题，贪心易陷局部最优（如最近邻法无法跳出短边陷阱）。
D. 最长公共子序列（LCS）	不能	贪心匹配（如双指针）无法回溯调整，可能错过更长子序列（需动态规划记录所有可能状态）。

贪心策略有效性证明：
假设存在一个非贪心策略的最优解 ( S )，其总价值高于贪心解 ( G )。设贪心策略首次选择的物品为 ( i )（单位价值最高），而 ( S ) 未选 ( i ) 或未选满 ( i )。
- 若 ( S ) 未选 ( i )：用 ( i ) 替换 ( S ) 中单位价值低于 ( i ) 的物品，总价值必增加，与 ( S ) 是最优解矛盾。
- 若 ( S ) 选了部分 ( i )：贪心策略会选满 ( i )，剩余容量用次优单位价值物品填充，总价值仍高于 ( S )。
- 结论：贪心策略的每一步选择均为当前最优，且最终导向全局最优。

反例强化：
背包容量 ( W=5 )，物品A（重量3，价值3，单位价值1）、物品B（重量3，价值4，单位价值1.33）。
- 贪心选B（总价值4），剩余容量2无法装其他物品；
- 最优解为选两个A（总价值6，假设物品可重复，但即使不可重复，此例说明贪心忽略组合价值）。
- 本质：0-1背包的“离散性”导致贪心无法通过分割调整，必须依赖动态规划的状态转移（记录前 ( i ) 个物品、容量 ( j ) 时的最大价值）。

典型陷阱：局部最短边陷阱
（城市构成环形，边长1，对角线长100。贪心从A出发选B→C→D→A，总长度 ( 1+1+1+100=103 )，而最优解为A→B→D→C→A，总长度 ( 1+100+1+1=103 )？不，实际最优解应为环形全走边长，总长度4，但此例说明贪心可能因“就近选择”错过更短环路）。
- 本质：TSP的解空间是阶乘级的，贪心的启发式策略（如最近邻、最小生成树）仅能求近似解，无法保证全局最优。

关键误区纠正：
您提到“贪心可能找到一个最长的公共子序列”，但事实上，贪心策略在LCS问题中连“可行解”都不一定正确。
- 反例：
  X = {A, B, C, B, D, B}, Y = {B, D, A, B, C, B}
  - 贪心双指针法：从X[0]=A开始，匹配Y中的A（位置2），后续匹配X[1]=B（Y位置3）、X[2]=C（Y位置4）、X[3]=B（Y位置5），得到LCS = {A, B, C, B}（长度4）。
  - 实际最优解：{B, D, B, B} 或 {B, A, B, C, B}（长度5，取决于子序列定义是否允许非连续）。
  - 原因：贪心按顺序匹配第一个出现的字符，而LCS允许任意顺序（只要相对位置不变），需通过动态规划表 ( dp[i][j] ) 记录所有可能的最长子序列长度。