46、彼得·温克勒披萨问题与排列图配对支配问题的解决方案

### 温克勒地基模型中的刚度矩阵计算 温克勒地基模型是一种经典的弹性基础理论，假设地面反力与结构物的沉降成正比关系。在这种模型下，可以通过离散化的方法来构建刚度矩阵[^1]。 #### 基本原理 温克勒地基模型的核心在于其线性分布特性，即单位面积上的土壤反作用力 \( q \) 可表示为： \[ q(x, y) = k_s w(x, y), \] 其中 \( k_s \) 是弹簧常数（也称为地基系数），\( w(x, y) \) 表示该位置处的地表位移[^2]。 对于有限元分析而言，通常会将连续体划分为若干节点和单元，在这些节点上定义自由度并建立相应的平衡方程组。通过引入局部坐标系以及插值函数表达未知量之间的相互依赖关系之后，可以得到整体系统的总刚度矩阵形式如下所示： \[ [K]=\int_{V}B^{T}DBdV+\sum_{i=1}^nK_i, \] 这里的第一项代表的是由材料属性决定的标准体积积分贡献部分；而第二项则对应于附加约束条件所带来的额外影响——具体到当前讨论对象，则表现为一系列独立存在的单点支撑效应之累加结果【注意此处需特别强调各分量间并无耦合关联】[^3]. 以下是基于上述公式的 Python 实现代码片段用于生成二维平面内的简单均匀网格型 Winkler 地基对应的全局刚阵: ```python import numpy as np def create_winkler_stiffness_matrix(n_x, n_y, l_x, l_y, ks): """ 创建一个简单的Winkler地基刚度矩阵 参数: n_x (int): X方向上的节点数量. n_y (int): Y方向上的节点数量. l_x (float): 结构长度沿X轴方向(m). l_y (float): 结构宽度沿Y轴方向(m). ks (float): 地基反应模量(N/m³). 返回: K_global (numpy.ndarray): 全局刚度矩阵. """ dx = l_x / (n_x - 1) dy = l_y / (n_y - 1) dof_per_node = 1 # 每个节点只有一个垂直位移自由度 total_dof = n_x * n_y * dof_per_node K_global = np.zeros((total_dof, total_dof)) for i in range(n_x): for j in range(n_y): idx = i * n_y + j row_col_idx = [idx] stiffness_value = ks * dx * dy for rci in row_col_idx: K_global[rci][rci] += stiffness_value return K_global if __name__ == "__main__": nx, ny = 4, 4 # 节点数目 lx, ly = 8., 8. # 尺寸大小 单位m ks_val = 5e6 # 地基系数 N/m³ global_K = create_winkler_stiffness_matrix(nx, ny, lx, ly, ks_val) print(global_K) ``` 此脚本展示了如何创建适用于特定尺寸矩形区域上的均质Winkler地基模型所需的总体刚性参数集合，并考虑到了边界处理等问题[^4]。