32、弦振动最优边界控制与离散博弈问题解析

弦振动最优边界控制与离散博弈问题解析

1. 弦振动最优边界控制

• 最优边界控制的连续性 ：构建的最优边界控制 $u_0^n(\tau)$ 作为时间的函数，在区间 $[0, T]$ 上是连续的。

• 弦挠度函数的构建步骤 ：

  1. 把最优控制 $u_0^n(\tau)$ 的表达式从 (31) 代入 (18)，将 $F_0^k(t)$ 的表达式代入 (22)，得到函数 $V_0^k(t)$，其中 $t \in [0, T]$，$k = 1, …, n$。
  2. 通过公式 (17) 得到 $V_0^n(x, t)$：
     [V_0^n(x, t) = \sum_{k = 1}^{n} V_0^k(t) \sin\frac{\pi k}{l} x]
  3. 由 (12) 可知函数 $W_0^n(x, t)$ 的形式为：
     [W_0^n(x, t) = (1 - \frac{x}{l}) u_0^n(t)]
  4. 根据 (10)，对于前 $n$ 个谐波，最优弦挠度函数 $Q_0^n(x, t)$ 可表示为：
     [Q_0^n(x, t) = V_0^n(x, t) + W_0^n(x, t)]

• $n = 1$ 时的边界控制构建 ：

  • 当 $n = 1$（即 $k = 1$）时，根据 (29) 有以下方程组：
    [
    \begin{cases} <