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自适应滤波器：原理、应用与优化
1. 自适应滤波器基础
自适应滤波器具有根据不同环境进行自我调整的能力，这使得它在信号处理和控制领域有着广泛的应用。在开始深入了解其应用之前，先介绍两个重要的矩阵范数：
- 1 - 范数 ：$|A| 1 = \max {1\leq i\leq M}\sum_{j = 1}^{M}|a_{ij}|$，其中$a_{ij}$是矩阵$A$的元素。
- 无穷范数 ：$|A| {\infty}= \max {1\leq j\leq M}\sum_{i = 1}^{M}|a_{ij}|$
自适应滤波器的应用通常可以分为四大类：
1. 干扰消除
2. 系统识别
3. 预测
4. 逆系统识别
在干扰消除、系统识别和预测这三种应用中，自适应滤波器的目标是找到信号$y(n)$的近似值$\hat{y}(n)$，其中$y(n)$包含在信号$d(n) = y(n) + v(n)$中。随着$\hat{y}(n)$趋近于$y(n)$，误差信号$e(n) = d(n) - \hat{y}(n)$趋近于$v(n)$。这三种应用的区别在于我们关注的对象不同。而在逆系统识别中，自适应滤波器的输出信号要尽可能接近信号$d(n)$，理想情况下$e(n)$应该为零。
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