动态规划——01背包问题

01背包问题:

有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。

第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。

输出格式:

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围
0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000

输入样例:

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

输出样例:

8

分析方法——闫式dp分析法
该方法是acwing中的招牌方法，个人觉得十分受用，感兴趣的话可以去网上找找。
​​
1.状态定义：f[ i ][ j ]表示前i个物品，背包容量为j的最大价值
2.状态属性：max值
3.状态计算：
f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);

状态计算详情见acwing闫总讲解。

二维（未优化前）

#include<iostream>

using namespace std;

const int MAXN = 1005;
int v[MAXN];    // 体积
int w[MAXN];    // 价值 
int f[MAXN][MAXN];  // f[i][j], j体积下前i个物品的最大价值 

int main() 
{
    int n, m;   
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i++) 
        cin >> v[i] >> w[i];

    for(int i = 1; i <= n; i++) 
        for(int j = 1; j <= m; j++)
        {
            //  当前背包容量装不进第i个物品，则价值等于前i-1个物品
            if(j < v[i]) 
                f[i][j] = f[i - 1][j];
            // 能装，需进行决策是否选择第i个物品
            else    
                f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
        }           

    cout << f[n][m] << endl;

    return 0;
}

一维（优化后）

#include<iostream>
using namespace std;
const int N=1010;
int f[N][N];
int v[N],w[N];
int n,m;
main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    cin>>v[i]>>w[i];
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=0;j<=m;j++)
    {
        f[i][j]=f[i-1][j];
        if(j>=v[i])
        f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);
        
    }
cout<<f[n][m]<<endl;
    
}

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