Codeforces 148D Bag of mice：概率dp 记忆化搜索

最新推荐文章于 2023-08-26 13:33:59 发布

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本文解析 CodeForces 148D 题目，该题涉及游戏中的概率计算。通过动态规划方法求解公主赢得游戏的概率，并给出记忆化搜索和 for 循环两种实现方案。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目链接：http://codeforces.com/problemset/problem/148/D

题意：

　　一个袋子中有w只白老鼠，b只黑老鼠。

　　公主和龙轮流从袋子里随机抓一只老鼠出来，不放回，公主先拿。

　　公主每次抓一只出来。龙每次在抓一只出来之后，会随机有一只老鼠跳出来（被龙吓的了。。。）。

　　先抓到白老鼠的人赢。若两人最后都没有抓到白老鼠，则龙赢。

　　问你公主赢的概率。

题解：

　　表示状态：

　　　　dp[i][j] = probability to win（当前公主先手，公主赢的概率）

　　　　i：剩i只白老鼠

　　　　j：剩j只黑老鼠

　　找出答案：

　　　　ans = dp[w][b]

　　边界条件：

　　　　if i==0 dp[i][j] = 0　（没有白老鼠了，不可能赢）

　　　　else if j==0 dp[i][j] = 1　（有且只有白老鼠，一定赢）

　　　　else if j==1 dp[i][j] = i/(i+1)　（如果公主拿了黑老鼠，那么龙一定会拿到白老鼠，公主输。所以公主一下就要拿到白老鼠）

　　如何转移：

　　　　对于dp[i][j]，有两种赢的方法：

　　　　　　（1）公主在这个回合一次就抓到了白老鼠。

　　　　　　（2）公主和龙都各抓了一只黑老鼠，然后公主在下一个回合赢了。

　　　　P（一次就抓到了白老鼠） = i/(i+j)

　　　　P（进入下个回合，即两人都抓到黑老鼠） = P（公主抓到黑老鼠） * P（龙抓到黑老鼠） = j/(i+j) * (j-1)/(i+j-1)

　　　　所以dp[i][j] = P（一次就抓到了白老鼠） + P（进入下个回合） * P（在下个回合赢）

　　　　那么考虑下个回合可能的状态。

　　　　因为公主和龙都已经抓走了两只黑老鼠，那么下个回合取决于跳出来的老鼠，有三种可能：

　　　　　　（1）跳出来白老鼠

　　　　　　（2）跳出来黑老鼠

　　　　　　（3）老鼠已经抓完了，没有老鼠跳出来

　　　　对于情况（3），原状态(i,j)只可能为：(1,1) , (0,2) , (2,0)，均包含在边界条件中，所以不作考虑。

　　　　剩下两种情况的可能性：

　　　　　　（1）P（跳出来白老鼠） = i/(i+j-2)　(i>=1 and j>=2)

　　　　　　（2）P（跳出来黑老鼠） = (j-2)/(i+j-2)　(j>=3)

　　　　所以P（在下个回合赢） = P（跳出来白老鼠） * dp[i-1][j-2] + P（跳出来黑老鼠） * dp[i][j-3]

　　　　总方程：

　　　　　　nex = 0

　　　　　　if i>=1 and j>=2 nex += i/(i+j-2)*dp[i-1][j-2]

　　　　　　if j>=3 nex += (j-2)/(i+j-2)*dp[i][j-3]

　　　　　　dp[i][j] = i/(i+j) + j/(i+j) * (j-1)/(i+j-1) * nex

　　另外，这道题的题解有两个版本，一种记忆化搜索，一种for循环版，都差不多。

AC Code（记忆化搜索）:

 1 // state expression:
 2 // dp[i][j] = probability to win
 3 // i: i white mice
 4 // j: j black mice
 5 //
 6 // find the answer:
 7 // ans = dp[w][b]
 8 //
 9 // transferring:
10 // if i>=1 and j>=2 nex += i/(i+j-2)*dp[i-1][j-2]
11 // if j>=3 nex += (j-2)/(i+j-2)*dp[i][j-3]
12 // dp[i][j] = i/(i+j) + j/(i+j) * (j-1)/(i+j-1) * nex
13 //
14 // boundary:
15 // if i==0 dp[i][j] = 0
16 // if j==0 dp[i][j] = 1
17 // if j==1 dp[i][j] = i/(i+1)
18 #include <iostream>
19 #include <stdio.h>
20 #include <string.h>
21 #define MAX_N 1005
22 
23 using namespace std;
24 
25 int w,b;
26 bool vis[MAX_N][MAX_N];
27 double ans;
28 double dp[MAX_N][MAX_N];
29 
30 double dfs(int i,int j)
31 {
32     if(vis[i][j]) return dp[i][j];
33     vis[i][j]=true;
34     if(i==0) return dp[i][j]=0;
35     if(j==0) return dp[i][j]=1;
36     if(j==1) return dp[i][j]=(double)i/(i+1);
37     double nex=0;
38     nex+=(double)i/(i+j-2)*dfs(i-1,j-2);
39     if(j>=3) nex+=(double)(j-2)/(i+j-2)*dfs(i,j-3);
40     return dp[i][j]=(double)i/(i+j)+(double)j/(i+j)*(j-1)/(i+j-1)*nex;
41 }
42 
43 void read()
44 {
45     cin>>w>>b;
46 }
47 
48 void solve()
49 {
50     memset(vis,false,sizeof(vis));
51     ans=dfs(w,b);
52 }
53 
54 void print()
55 {
56     printf("%.9f\n",ans);
57 }
58 
59 int main()
60 {
61     read();
62     solve();
63     print();
64 }

AC Code（for循环）:

 1 #include <iostream>
 2 #include <stdio.h>
 3 #include <string.h>
 4 #define MAX_N 1005
 5 
 6 using namespace std;
 7 
 8 int w,b;
 9 double ans;
10 double dp[MAX_N][MAX_N];
11 
12 void read()
13 {
14     cin>>w>>b;
15 }
16 
17 void solve()
18 {
19     memset(dp,0,sizeof(dp));
20     for(int i=0;i<=w;i++)
21     {
22         for(int j=0;j<=b;j++)
23         {
24             if(i==0)
25             {
26                 dp[i][j]=0;
27                 continue;
28             }
29             if(j==0)
30             {
31                 dp[i][j]=1;
32                 continue;
33             }
34             if(j==1)
35             {
36                 dp[i][j]=(double)i/(i+1);
37                 continue;
38             }
39             double nex=(double)i/(i+j-2)*dp[i-1][j-2];
40             if(j>=3) nex+=(double)(j-2)/(i+j-2)*dp[i][j-3];
41             dp[i][j]=(double)i/(i+j)+(double)j/(i+j)*(j-1)/(i+j-1)*nex;
42         }
43     }
44 }
45 
46 void print()
47 {
48     printf("%.9f\n",dp[w][b]);
49 }
50 
51 int main()
52 {
53     read();
54     solve();
55     print();
56 }