高通滤波器（一次失败的尝试）

a03910

已于 2024-04-21 14:33:25 修改

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文章标签：人工智能算法

于 2024-04-19 00:35:39 首次发布

本文链接：https://blog.csdn.net/a03910/article/details/137942649

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文章探讨了高通滤波器如何设置图像背景为0，解释了低通滤波器的原理以及频率与空间域变化率的关系。作者质疑传统的理解，提出变化率可能与频域特定值相关，但未给出确切的数学证明。最后，虽然没有得出明确结论，但提出了一个看似神奇的公式，展示了不同点之间的潜在联系。

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为什么所有的高通滤波器会把图像的背景色设置为0？

首先根据公式4.9-1，低通滤波器的定义，超过某个频率是百分之百通过的，为1.所以这里的含义是低于某个频率就会百分之百为0，完全不通过，那么可以肯定在H(0,0)=0。

根据导数的定义，观察f'(0)=0。尽管n取0可以影响，但是图像可以中心化，意味着频率可以移动，但是在空间域的图像变化率呢？根据书上的公式4.6.3, 因为变化率取绝对值就跟e^(ia)无关(复变函数需要抛弃复数形式，求变化率)，那么只能是an=0,bn=0,对于任意的n是实数成立。这就是说空间滤波器对于没有像素变化的位置x，有f(x)=0。高通滤波器能把白色都变成黑色啊。

也就是说只要频域滤波器的值有H(x)=0，那么就是该变化率的位置的像素值只能为0了。

应该是错了。如果an=bn=0,那么f(x)=0,这没有意义了。那么变化率不只是频率，该如何理解呢？

首先f'(x)= $\sum_{k=-\infty }^{\infty}$ Ck*ikw*e^(ikwx)。只能说x=0的变化率f'(0)= $\sum_{k=-\infty }^{\infty}$ Ck*kwi，首先这是个收敛的级数，然后是点列{Ck*w*k}存在最大值和下确界为0，但是k是递增的，所以lim(k-> $\infty$ )=Ck*w/k=0。当x1不等于x2,那么必然是复数作为向量加法而不是幅度直接相加。但是这什么都说明不了。已知大部分Ck是k的高阶无穷小，Ck=1/kk+O(k)。累加实在是不方便，既然是向量加法那么就是f'(x)=A(k1,,...km,..,x)*e^(iB(k1,,...km,..,x))，A(k1,,...km,..,x)是可列个向量相加之后的模，如果存在积分中值定理类似的概念，那么就可以让这个模正比于Ck中的某个值Ckm，相位不用管，那么就可以说明变化率确实跟某个频域的某个值有关。我觉得这个可以证明，但是我给不出来，因为尽管是在正无穷和负无穷积分，但是，无限个降速太快，非常小的量忽略，有限个相加，取某种意义的均值，因为考虑到连续性，肯定能取到。我的这个想法虽好，但是只是想法，没有数学公式只能算是猜测。我认为f'(x)=Ckm*e^(iklx), 相位角同理，但是连续方式不同就设为kl，但是因为f(x)是实数，其实是kl=0。即是f'(x)=Ckm(ck,x)，Ckm取值为f(km)。

然后理解f'(0)= $\sum_{k=-\infty }^{\infty}$ Ck*kwi=0。只能是 $\sum_{k=-\infty }^{\infty}$ Ck*k=0=Ckm，所以当空间域的像素变化率为0的时候，在频率域上存在频率u,是的F(u)=0。

其实对f的任意阶导数，都是这个结果。f^m(x)=F(km(x)), km跟阶数m和x有关，km取值为F(w)的定义域，而且km是关于x的光滑函数。（这些都是猜测。）

反过来也是如此。F^m(w)=f(xm(w)),xm跟阶数m和w有关，xm取值为f(x)的定义域。

那么我得出的结论为是: 像素变化率确实就是频域中的某个值，但是问题是改变频域上的值，真的能改变像素的变化率吗？说实话，像素变化率不是关于频率的函数，而只是说像素变化率的值域受到频率域的值的影响，反过来也是如此。按照积分中值定理设想，有界区间的曲线的中值连续移动到0，也不可能让之后的积分的中值为0，但是肯定有影响。仅仅只是把某个频率w的值F(w)设置为0也能做到让某个位置的像素为0，根据f^m(x)=F(km(x))。但是更具体的怎么知道呢？我做不到。我失败了，本想解决低频对应低变化率的，没有做出来。

尽管有fm=F(Km), Fm=f(xm)，得出f1=F(K1)=f(x0)(K1)。

所以感觉作者的说法是错误的。频率跟变化率没有关系，因为我找不到。总结就是没有任何发现，应该是对这些东西认识不够，我也没功夫搞这些。前面写的几篇都是错的。但是错误也有价值，先留着吧。

既然连续函数的道路走不通，那我走离散的道路，最后再挣扎一下。

先计算点列的一阶导数

f'(n)=f(n+1)-f(n)=1/N*( $\sum_{k=0}^{N-1}Fk*e^{i*2\pi *(n+1)*k/N}$ - $\sum_{k=0}^{N-1}Fk*e^{i*2\pi *n*k/N}$ )

= $1/N*\sum_{k=0}^{N-1}Fk*2cos(\pi*k/N-\pi/2)*e^{i*2\pi *n*k/N+i*\pi/2}$

= $1/N*\sum_{k=0}^{N-1}Fk*2sin(\pi*k/N)*e^{i*2\pi *n*k/N+i*\pi/2}$ 。

= $1/N*\sum_{k=0}^{N-1}Fk*2sin(\pi*k/N)*i*e^{i*2\pi *n*k/N}$

= $2i/N*\sum_{k=0}^{N-1}sin(\pi*k/N)*Fk*e^{i*2\pi *n*k/N}$

如何理解 $2i/N*\sum_{k=0}^{N-1}sin(\pi*k/N)*Fk*e^{i*2\pi *n*k/N}$ 呢？其实就是在复平面上的N个向量相加，问题是Fk也不是实数。问题就搞复杂了, 那就先看Fk是实函数，因为我发现书上的频率域滤波器是实函数。n是空间域位置，k是频率域频率。搞错了，不应该对滤波器求导，所以f(n)应该理解为图像，实函数，那么Fk就无法控制是不是复函数了。频域滤波器的作用是修改Fk的值，如何修改才能是的f'(n)变小？首先这里有个虚数符号，但是指数函数也是复数，Fk也很可能是复数，最后会消失奇怪。完全看不出来如何改，换个方式理解。

反变换看完了，那就看正变换。

F(k)= $\sum_{n=0}^{N-1}f(n)*e^{-i*2\pi *n*k/N}$ ，这是什么意思呢？总共有N个向量相加，f(n)是向量的模， $e^{-i*2\pi *n*k/N}$ 是向量的方向，方向为顺时针转动，与其说是向量，不如说是加法群。

k=0的时候，是1元群。

k=1的时候，是N元群。

k=2的时候，最大公约数=（N,k），则是N/（N,k）元群，重复了（N,k）次。如果默认任何数是零的约数，那么（N,0）=N。

。。。。。。。。

k=N-1的时候，是N元群。

k=N的时候，是1元群。

这里k是频率，不过是离散值。设点列{f(km)}是按从大到小顺序排列的。

这也没什么用。

设空间域滤波器为h(m)，有频率域滤波器为H(k)= $\sum_{m=0}^{N-1}h(m)*e^{-i*2\pi *m*k/N}$

则有

卷积定理:

f(l) $\bigotimes$ h(l)= $\sum_{m=0}^{N-1}f(m)h(l-m)$ = $\sum_{m=0}^{N-1}\sum_{x=0}^{N-1}(1/N)*F(x)*e^{i*2\pi *m*x/N}*\sum_{y=0}^{N-1}(1/N)*H(y)*e^{i*2\pi *(l-m)*y/N}$

= $\sum_{x=0}^{N-1}(1/N)*F(x)*(1/N)*H(x)*e^{i*2\pi *l*x/N}$

这是为什么相等呢？因为

$\sum_{x=0}^{N-1}(1/N)*F(x)*(1/N)*H(x)*e^{i*2\pi *l*x/N}$

= $\sum_{x=0}^{N-1}\sum_{y=0}^{N-1}\sum_{m=0}^{N-1}(1/N^2)*F(x)*H(y)*e^{i*2\pi *m*x/N}*e^{i*2\pi *(l-m)*y/N}$

考虑 $e^{i*2\pi *m*x/N}*e^{i*2\pi *(l-m)*y/N}$ ，

mx+ly-my=m(x-y)+ly。

当x=y的时候， $\sum_{m=0}^{N-1}e^{i*2\pi *m*(x-y)/N}=N$ ，当x $\neq$ y， $\sum_{m=0}^{N-1}e^{i*2\pi *m*(x-y)/N}=0$ ，这是根据上面贴出来的正交性。

所以原式= $\sum_{x=0}^{N-1}\sum_{y=0}^{N-1}(1/N^2)*F(x)*H(y)*N*e^{i*2\pi *l*y/N}$

= $\sum_{y=0}^{N-1}N*(1/N^2)*F(x)*H(y)*N*e^{i*2\pi *l*y/N}$

= $\sum_{y=0}^{N-1}F(x)*H(y)*e^{i*2\pi *l*y/N}$

现在继续看f'(n)= $2i/N*\sum_{k=0}^{N-1}sin(\pi*k/N)*Fk*e^{i*2\pi *n*k/N}$

= $2i/N*\sum_{k=0}^{N-1}sin(\pi*k/N)*\sum_{x=0}^{N-1}f(x)*e^{-i*2\pi *k*x/N}*e^{i*2\pi *n*k/N}$

= $2i/N*\sum_{k=0}^{N-1}\sum_{x=0}^{N-1}f(x)*sin(\pi*k/N)*e^{i*2\pi *k*(n-x)/N}$

经过计算发现三角函数不方便计算，还是转化为指数形式。

= $1/N*\sum_{k=0}^{N-1}\sum_{x=0}^{N-1}f(x)*(e^{i*\pi*k/N}-e^{-i*\pi*k/N})*e^{i*2\pi *k*(n-x)/N}$

令 $G=e^{i*2\pi /N}$ ，则当 $x\neq n$ 时候，

$1/N*\sum_{k=0}^{N-1}f(x)*[G^{ k/2+k*(n-x)}-G^{-k/2+k*(n-x)}]$

= $1/N*f(x)*([1-G^{ (1/2+n-x)N}]/[1-G^{ 1/2+n-x}]-[1-G^{ (-1/2+n-x)N}]/[1-G^{ -1/2+n-x}] )$

= $1/N*f(x)*([1-e^{i\pi}]/[1-G^{ 1/2+n-x}]-[1-e^{-i\pi}]/[1-G^{ -1/2+n-x}] )$

= $1/N*f(x)*(2/[1-G^{ 1/2+n-x}]-2/[1-G^{ -1/2+n-x}] )$

总共有n-1个x不等于n,

当 $x=n$ 的时候，

$1/N*\sum_{k=0}^{N-1}f(x)*[G^{ k/2+k*(n-x)}-G^{-k/2+k*(n-x)}]$

= $1/N*\sum_{k=0}^{N-1}f(x)*[G^{ k/2}-G^{-k/2}]$

= $1/N*f(x)*[(1-G^{1/2*N})/(1-G^{1/2})-(1-G^{-1/2*N})/(1-G^{-1/2})]$

= $1/N*f(x)*[2/(1-G^{1/2})-2/(1-G^{-1/2})]$

所以

f'(n)= $1/N*f(n)*[2/(1-G^{1/2})-2/(1-G^{-1/2})]$ + $\sum_{x=0}^{N-1}(1-\delta xn)*1/N*f(x)*(2/[1-G^{ 1/2+n-x}]-2/[1-G^{ -1/2+n-x}] )$

再进行傅里叶变换试试。

f'(n)= $1/N*\sum_{k=0}^{N-1}Fk*e^{i*2\pi *n*k/N}*[2/(1-G^{1/2})-2/(1-G^{-1/2})]$ +

$\sum_{x=0}^{N-1}(1-\delta xn)*1/N*\sum_{k=0}^{N-1}Fk*e^{i*2\pi *x*k/N}*(2/[1-G^{ 1/2+n-x}]-2/[1-G^{ -1/2+n-x}] )$

已经无法继续写下去了。

其实这个结果是很奇怪的，因为f'(n)=f(n+1)-f(n)，上面的结果能算出来下面的等式吗？

f(n+1)-f(n)= $1/N*f(n)*[2/(1-G^{1/2})-2/(1-G^{-1/2})]$

+ $\sum_{x=0}^{N-1}(1-\delta xn)*1/N*f(x)*(2/[1-G^{ 1/2+n-x}]-2/[1-G^{ -1/2+n-x}] )$ ， $G=e^{i*2\pi /N}$ 。因为这个等式的N和f都是任意的啊，这也能成立？不知道是哪里算错了，明天检验一下，不知不觉就发明了一个公式了。(已经检查了，我没发现任何问题，我居然创造了一个公式。如果真的没问题，那这是非常神奇的公式，任意毫不相关的点居然可用一个如此简单的联系起来，我都不敢相信。)