计算机组成原理第五章（计算机的运算方法）—第二节（数的定点表示和浮点表示）

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写在前面：

本系列笔记主要以《计算机组成原理（唐朔飞）》为参考，大部分内容出于此书，笔者的工作主要是挑其重点展示，另外配合下方视频链接的教程展开思路，在笔记中一些比较难懂的地方加以自己的一点点理解（重点基本都会有标注，没有任何标注的难懂文字应该是笔者因为强迫症而加进来的，可选择性地忽略）。
视频链接：计算机组成原理（哈工大刘宏伟）135讲（全）高清_哔哩哔哩_bilibili

一、定点表示

1、定点表示的形式和表示范围

小数固定在某一位置的数为定点数，有如下两种形式。

当小数点位于数符和第一数值位之间时，机器内的数为纯小数；当小数点位于数值位之后时，机器内的数为纯整数。

采用定点数的机器称为定点机。数值部分的位数n决定了定点机中数的表示范围，若机器数采用原码（反码的表示范围同原码），那么小数定点机（上左图所示）中数的表示范围是 $-(1-2^{-n})\sim (1-2^{-n})$ ，整数定点机（上右图所示）中数的表示范围是 $-(2^{n}-1)\sim (2^{n}-1)$ ；若机器数采用补码，那么小数定点机中数的表示范围是 $-1\sim (1-2^{-n})$ ，整数定点机中数的表示范围是 $-2^{n}\sim (2^{n}-1)$ 。

2、定点表示的局限（引入浮点表示的原因）

（1）编程困难，程序员要调节小数点的位置。

（2）数据存储单元的利用率往往很低。

（3）数的表示范围很小，为了能表示两个相差很大的数据，需要很长的机器字长。

二、浮点表示

1、浮点数的表示形式

（1）实际上计算机中处理的数不一定是纯小数或纯整数（如圆周率），而且有些数据的数值范围相差很大（如电子的质量和太阳的质量），它们都不能直接用定点小数或定点整数表示，但均可用浮点数表示，浮点数即小数点的位置可以浮动的数。

（2）通常，浮点数被表示成 $N=S\times r^{j}$ ，式中S为尾数、j为阶码、r是基数。以基数r=2为例，数N可写成不同的形式。

（3）浮点数在机器中的形式如下所示：

①阶码是整数，可正可负，阶符和阶码的位数m合起来反映浮点数的表示范围及小数点的实际位置。

②尾数是小数，可正可负，其位数n反映了浮点数的精度，尾数的符号 $S_{f}$ 代表浮点数的正负。

③基数又称基值，在计算机中可取2、4、8或16等。

2、浮点数的表示范围

以通式 $N=S\times r^{j}$ 为例，设浮点数阶码的数值位取m位，尾数的数值位取n位，当浮点数为非规格化数时，它在数轴上的表示范围如下图所示。

当浮点数阶码大于最大阶码时，称为上溢，此时机器停止运算，进行中断溢出处理；当浮点数阶码小于最小阶码时，称为下溢，此时溢出的数绝对值很小，通常将尾数各位强置为零，按机器零处理，此时机器可以继续运行。

一旦浮点数的位数确定后，合理分配阶码和尾数的位数将直接影响浮点数的表示范围和精度。通常对于短实数（总位数为32位），阶码取8位（含阶符1位），尾数取24位（含数符1位）；对于长实数（总位数为64位），阶码取1位（含阶符1位），尾数取53位（含数符1位）；对于临时实数（总位数为80位），阶码取15位（含阶符1位），尾数取65位（含数符1位）。

3、浮点数的规格化

（1）为了提高数据精度以及便于浮点数的比较，在计算机中规定浮点数的尾数用纯小数形式（也就是整数部分为零，表示为“0.xxx…”）。此外，将尾数最高位为1的浮点数（表示为“0.1xxx…”）称为规格化数，浮点数表示成规格化形式后，其精度最高。

（2）为了提高浮点数的精度，其尾数必须为规格化数，如果不是规格化数就要通过修改阶码并同时左右移尾数的办法（其实就是移动小数点），使其变成规格化数。

（3）将非规格化数转换成规格化数的过程称为规格化，对于基数不同的浮点数，因其规格化数的形式不同，规格化过程也不同。当基数为2时，尾数最高位为1的数为规格化数。规格化时，尾数左移1位，阶码减1（这种规格化称为向左规格化，简称左规）；尾数右移1位，阶码加1（这种规格化称为向右规格化，简称右规）。

基数	规格化方向	具体操作
r=2	左规	尾数左移1位，阶码减1
r=2	右规	尾数右移1位，阶码加1
r=4	左规	尾数左移2位，阶码减1
r=4	右规	尾数右移2位，阶码加1
r=8	左规	尾数左移3位，阶码减1
r=8	右规	尾数右移3位，阶码加1
r=16	左规	尾数左移4位，阶码减1
r=16	右规	尾数右移4位，阶码加1
r= $2^{n}$	左规	尾数左移n位，阶码减1
r= $2^{n}$	右规	尾数右移n位，阶码加1

（4）浮点机中一旦基数确定后就不再变了，而且基数是隐含的，故不同基数的浮点数表示形式完全相同。但基数不同，对数的表示范围和精度等都有影响，一般来说，基数r越大，可表示的浮点数范围越大，而且所表示的数的个数越多，但r越大，浮点数的精度反而会下降。

三、定点数和浮点数的比较

①当浮点机和定点机中数的位数相同时，浮点数的表示范围比定点数的大得多。

②当浮点数为规格化数时，其相对精度远比定点数高。

③浮点数运算要分阶码部分和尾数部分，而且运算结果都要求规格化，故浮点运算步骤比定点运算步骤多，运算速度比定点运算的低，运算线路比定点运算的复杂。

④在溢出的判断方法上，浮点数是对规格化数的阶码进行判断，而定点数是对数值本身进行判断。例如，小数定点机中的数，其绝对值必须小于1，否则“溢出”，此时要求机器停止运算，进行处理，为了防止溢出，上机前必须选择比例因子，这个工作比较麻烦，给编程带来不便；而浮点数的表示范围远比定点数大，仅当“上溢”时机器才停止运算，故一般不必考虑比例因子的选择。

四、机器零

当一个浮点数的尾数为0时，不论其阶码为何值，或这个浮点数的阶码等于或小于它所能表示的最小数时，不管其尾数为何值，机器都把该浮点数作为零看待，并称之为“机器零”。如果浮点数的阶码用移码表示，尾数用补码表示，则当阶码为它所能表示的最小数 $2^{-m}$ （式中m为阶码的位数）且尾数为0时，其阶码（移码）全为0，尾数（补码）也全为0，这样的机器零为000…0000，全零表示有利于简化机器中的判“0”电路。