经典等价无穷小

以下使用条件均为 $x\to 0$：

与 $x$ 相关：
$$x\sim \sin x\sim \tan x\sim \arcsin x\sim \arctan x\sim \ln (x+1)\sim e^x-1（1式）$$

$$(1+x{)}^a\sim ax如\sqrt{1+x}=\frac{1}{2}x（2式）$$

以下是对以上的简易说明：

一式

前两项夹逼定理可证，三四项通过换元等价转换成一二项。

第五项经典：
求解$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\log }_a(x+1)}{x}$$
$LHS={\lim }_{x\to 0}{\log }_a(x+1{)}^{\frac{1}{x}}={\log }_{a}e=\frac{1}{\ln a}$
故 ${\log }_a(x+1)$ 是 $x$ 的 $\frac{1}{\ln a}$ 阶无穷小，因此 $${\log }_a(x+1)\sim \frac{x}{\ln a}$$
令 $a=e$，得证。

第六项同处理三四项时换元的思路：
求解$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{a^x-1}{x}$$
令 $t=a^x-1$，故 $t\to 0$，$LHS={\lim }_{t\to 0}\frac{t}{{\log }_a(t+1)}=\ln a$，
故 $$a^x-1\sim x\ln a$$
令 $a=e$，得证。

二式

求解$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(1+x{)}^a-1}{x}$$
令 $t=(1+x{)}^a-1$，$t\to 0$，$LHS={\lim }_{x\to 0}\frac{(1+x{)}^a-1}{\ln (1+x{)}^a}\times {\lim }_{x\to 0}\frac{\ln (1+x{)}^a}{x}={\lim }_{t\to 0}\frac{t}{\ln (1+t)}\times {\lim }_{t\to 0}\frac{\ln (1+t{)}^a}{t}={\lim }_{t\to 0}\frac{t}{t}\times {\lim }_{t\to 0}\frac{at}{t}=a$
故 $$(1+x{)}^a-1=ax$$
证明过程使用了上述等价无穷小替换。