时间序列的平稳性检验方法汇总篇

上文我们已经知道了什么是时间序列的平稳性，也见到了一些平稳时间序列和非平稳的时间序列，那么当我们有一个新的时间序列数据时，怎么判断它是否是平稳的呢？

时间序列平稳性检验方法，大体可分为三类：

1. 图形分析方法
2. 简单统计方法
3. 假设检验方法

一、图形分析方法

图形分析方法是一种最基本、最简单直接的方法，即绘制图形，肉眼判断。

可直接可视化时间序列数据，也可以可视化时间序列的统计特征。

可视化数据

可视化数据即绘制时间序列的折线图，看曲线是否围绕某一数值上下波动（判断均值是否稳定），看曲线上下波动幅度变化大不大（判断方差是否稳定），看曲线不同时间段波动的频率[~紧凑程度]变化大不大（判断协方差是否稳定），以此来判断时间序列是否是平稳的。

以下绘制几张图，大家来直观判断一下哪些是平稳的，哪些是非平稳的。

import numpy as np
import pandas as pd
import akshare as ak
from matplotlib import pyplot as plt

np.random.seed(123)

# -------------- 准备数据 --------------
# 白噪声
white_noise = np.random.standard_normal(size=1000)

# 随机游走
x = np.random.standard_normal(size=1000)
random_walk = np.cumsum(x)

# GDP
df = ak.macro_china_gdp()
df = df.set_index('季度')
df.index = pd.to_datetime(df.index)
gdp = df['国内生产总值-绝对值'][::-1].astype('float')

# GDP DIFF
gdp_diff = gdp.diff(4).dropna()


# -------------- 绘制图形 --------------
fig, ax = plt.subplots(2, 2)

ax[0][0].plot(white_noise)
ax[0][0].set_title('white_noise')
ax[0][1].plot(random_walk)
ax[0][1].set_title('random_walk')

ax[1][0].plot(gdp)
ax[1][0].set_title('gdp')
ax[1][1].plot(gdp_diff)
ax[1][1].set_title('gdp_diff')

plt.show()

a. 白噪声，曲线围绕0值上下波动，波动幅度前后、上下一致，为平稳序列。
b. 随机游走，曲线无确定趋势，均值、方差波动较大，非平稳序列。
c. GDP数据趋势上升，均值随时间增加，非平稳序列。
d. GDP季节差分后数据，曲线大致在一条水平线上上下波动，波动幅度前后变化较小，可认为是平稳的。

可视化统计特征

可视化统计特征，是指绘制时间序列的自相关图和偏自相关图，根据自相关图的表现来判断序列是否平稳。

自相关，也叫序列相关，是一个信号与自身不同时间点的相关度，或者说与自身的延迟拷贝–或滞后–的相关性，是延迟的函数。不同滞后期得到的自相关系数，叫自相关图。

（这里有一个默认假设，即序列是平稳的，平稳序列的自相关性只和时间间隔k有关，不随时间t的变化而变化，因而可以称自相关函数是延迟（k）的函数）

平稳序列通常具有短期相关性，对于平稳的时间序列，自相关系数往往会迅速退化到零（滞后期越短相关性越高，滞后期为0时，相关性为1）；而对于非平稳的数据，退化会发生得更慢，或存在先减后增或者周期性的波动等变动。

自相关的计算公式为根据滞后期k将序列拆成等长的两个序列，计算这两个序列的相关性得到滞后期为k时的自相关性。

举例：

$X=[2,3,4,3,8,7]$

$A=[2,3,4,3,8]$

$B=[3,4,3,8,7]$

$\bar{X}={\sum }_{i=1}^6{X}_i=4.5$

$s^2(X)=\frac{1}{6}{\sum }_{i=1}^6(X_i-\bar{X})(X_i-\bar{X})=4.916.$

$r(1)=\frac{1}{5}{\sum }_{i=1}^5(A_i-\bar{X})(B_i-\bar{X})=1.75$

$ACF(1)=\frac{r(1)}{s^2(X)}=\frac{1.75}{4.91666667}=0.3559322$

import statsmodels.api as sm
X = [2,3,4,3,8,7]
print(sm.tsa.stattools.acf(X, nlags=1, adjusted=True))

> [1, 0.3559322]
其中第一个元素为滞后期为0时的自相关性，第二个元素为滞后期为1时的自相关性

根据ACF求出滞后k自相关系数时，实际上得到并不是X(t)与X(t-k)之间单纯的相关关系。

因为X(t)同时还会受到中间k-1个随机变量X(t-1)、X(t-2)、……、X(t-k+1)的影响，而这k-1个随机变量又都和X(t-k)具有相关关系，所以自相关系数里面实际掺杂了其他变量对X(t)与X(t-k)的影响。

在剔除了中间k-1个随机变量X(t-1)、X(t-2)、……、X(t-k+1)的干扰之后，X(t-k)对X(t)影响的相关程度，叫偏自相关系数。不同滞后期得到的偏自相关系数，叫偏自相关图。（偏自相关系数计算较复杂，后期再来具体介绍）

下面我们就来看看几个实战案例（上图中的数据再来看一下它们的自相关图和偏自相关图）：

# 数据生成过程在第一个代码块中
from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acf, plot_pacf

fig, ax = plt.subplots(4, 2)
fig.subplots_adjust(hspace=0.5)

plot_acf(white_noise, ax=ax[0][0])
ax[0][0].set_title('ACF(white_noise)')
plot_pacf(white_noise, ax=ax[0][1])
ax[0][1].set_title('PACF(white_noise)')

plot_acf(random_walk, ax=ax[1][0])
ax[1][0].set_title('ACF(random_walk)')
plot_pacf(random_walk, ax=ax[1][1])
ax[1][1].set_title('PACF(random_walk)')

plot_acf(gdp, ax=ax[2][0])
ax[2][0].set_title('ACF(gdp)')
plot_pacf(gdp, ax=ax[2][1])
ax[2][1].set_title('PACF(gdp)')

plot_acf(