【LeetCode】115. 不同的子序列

规定 ：
（1）S(0, i-1) 表示 S 的前 i 个字符组成的字符串，因此基数为 0，所以最后一个字符即第 i-1 个。

（2）S[i-1] 即表示 S 的第 i-1 个字符。

使用动态规划来处理，则有 dp[i][j] 代表 S(0, i-1) 与 T(0, j-1) 对应的解。

对于 dp[i][j] 有：

1. 当 S[i-1] 与 T[j-1] 不相等时，则 S 的第 i-1 个字符肯定是要删除的，删除了 S 的第 i-1 个字符，就等价于求 S(0, i-2) 与 T(0, j-1) 的解，因此 dp[i][j] 就等价于 dp[i-1][j]。

   也可以反过来想，对于 T(j-1) ，当 S[i-1] 与 T[j-1] 不相等时，对于 S 的前 i-1 个字符(即 S(0, i-2))，再加上第 i-1 个字符，是不会影响到关于 T(j-1) 的结果的。

2. 当 S[i-1] 与 T[j-1] 相等 时，S 的第 i-1 个字符也是要删除的，但是当其删除时，就会有两种情况：

   抵消掉 T[j-1]（即抵消掉 T 的第 j-1 个字符，则剩下 T 的前 (j-1) 个字符，此时最后一个字符变为第 T[j-2] 个了），此时就对应于 dp[i-1][j-1]；

   或者不抵消（即 T 的第 j-1 个字符还在，则剩下的依然是 T 的前 j 个字符），此时对应于 dp[i-1][j]。

   此时 dp[i][j] 为两种情况的和，即 dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i-1][j]。

public int numDistinct(String s, String t) {
    if (s == null || s.length() == 0) {
        return 0;
    }
    if (t == null || t.length() == 0) {
        return 1;
    }
    
    int sLen = s.length();
    int tLen = t.length();
    // 注意数组空间为 [sLen + 1][tLen + 1]
    int[][] dp = new int[sLen + 1][tLen + 1];
	
	// 初始值赋值
    for (int i = 0; i <= sLen; i++) {
        dp[i][0] = 1;
    }
    
    // 最终要求得 dp[sLen][tLen]
    for (int i = 1; i <= sLen; i++) {
        for (int j = 1; j <= tLen; j++) {
            if (s.charAt(i - 1) == t.charAt(j - 1)) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j];
            } else {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            }
        }
    }
    return dp[sLen][tLen];
}

注意，对于 dp[i][0]，即 T 的字串长度为 0 的时候，有 dp[i][0] 为 1，即空字符串为 S 的子串只有一种可能，那就是删除 S 的所有字符。

而对于 dp[0][j] 不包括 dp[0][0]（因为它属于 dp[i][0] 对应的情形 ），即 S 为空字符串，此时不管 T 多长，都无法通过删除 S 中的字符来变成 T，因此 dp[0][j] 为 0。

上述实现的空间复杂度为 O(sLen*tLen)

空间复杂度还可以优化，即使用一纬的辅助数组，此时重点就是对于 dp[i-1][j-1] 状态的保存，因为它在遍历的时候会被 dp[i][j-1] 给覆盖。

此时，就可以用一个临时变量，来保存被覆盖之前的 dp[i-1][j-1] 状态。

public int numDistinct(String s, String t) {
    if (s == null || s.length() == 0) {
        return 0;
    }
    if (t == null || t.length() == 0) {
        return 1;
    }
    int sLen = s.length();
    int tLen = t.length();
    // 使用一纬数组，此时 dp[j] 表示 t 的前 j 个字符
    int[] dp = new int[tLen + 1];
    dp[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= sLen ; i++) {
        int pre = dp[0];
        dp[0] = 1;
        for (int j = 1; j <= tLen; j++) {
            // 用临时状态保存更新前的 dp[j]，此时为 dp[i-1][j-1] 对应的状态
            int tmp = dp[j];
            if (s.charAt(i-1) == t.charAt(j-1)) {
                dp[j] = pre + tmp;
            } else {
                dp[j] = tmp;
            }
            // 将更新前的 dp[i] 赋值给 pre，用于遍历下一个元素
            pre = tmp;
        }
    }
    return dp[tLen];
}