基于优先队列的BFS——普适化版本BFS

基于优先队列的BFS——普适化的BFS

​ 前言：对于BFS的最少值的问题中，我们常常用BFS来解决每一步步长均一致的问题。但是，有些情况下，在每一轮搜索中，对于下一步的选择并非步长一定一致的。例如，在迷宫中到达某点的最短用时问题中，并非在每一个点消耗的时间都是一样的，有可能在某些特定点消耗的时间要比普通点的时间多，也可能少，这样我们如果我们用普通BFS，将其选入队列，我们就无法保证我们队列头一定是最优的（因为BFS解题，默认队列头的元素就是最优的，一旦队列头的元素满足，就可以直接结束），那么就有可能输出一个错误的结果，也就是说，常规BFS，对于题目的要求很高，一旦修改一些条件，便不能使用，普适程度不强。
​ 本讲，试图通过基于优先队列的BFS，将BFS普适化，让BFS的适用题境进一步扩大。

思想篇：高屋建瓴

优先队列与普通队列有什么区别？

优先队列=普通队列-先进先出+优先级队列排列

​ 优先队列（也称堆），与普通队列的本质区别，就在于优先队列，队列内部会自动按优先级排序，队首是优先级最高的元素，队尾是优先级最低的元素，而普通队列，则是按照插入队列的先后顺序，从头到尾排列。如我将3，5，2，1，4插入普通队列中，那么普通队列内部元素的顺序就也是3，5，2，1，4；而如果我把它们插入一个升序排序的优先队列，也就是小顶堆，那么它的结果将会是1，2，3，4，5。除了这个区别，其它的插入，删除，检验队列是否为空，求队列长度等一系列操作都是一样的，但是，操作中唯一有区别的一项，就是普通队列访问首元素是用front()，而优先队列访问首元素，是用top()（很好理解，优先队列讲优先级，而不是说前后的，top即是说优先级最高，与优先二字是对上的，因此在优先队列中我们用top()这一成员函数）。

部分BFS题目中，我们为什么要使用优先队列？

​ 我们先来回顾一下常规BFS是怎么进行一系列题目的求解的。
​ 假设题目的要求迷宫中从a点到b点的最短用时数，每一步消耗的时间都为1，那么我们BFS的思路，就是先求出第一步抵达的所有点，到这个点的用时都是1，看是否是b点，如果是b点就退出，输出结果1；再求出第二步所能抵达的所有点，到这个点的用时都是2，看是否是b点，如果是b点就退出，输出结果2，以此类推，直到再第n步搜到，输出结果n。队列内最前面的数据，就是最小的数据。

​ 但假设我这样改题目，在迷宫中，移动到行标列标之和为奇数的点，用时为1；移动到行标列标之和为偶数的点，用时为2，请问从a点到b点的最短用时是多少呢？如果还是按照普通bfs的思路，会不会出现问题呢？答案是肯定的。因为下一步的用时，有可能是1，也有可能是2，我们无法保证用时数就等于步数了！那么队列里最前面的数据，并不一定是最小的，那么求出来的答案是第一个搜到的，但并不一定是第一短时间到的（注意区别），因此它极有可能是个错误的答案。

​ 那么在这种情况下，用优先队列就可以解决这个问题了吗？显然是的。我们新建一个优先队列，以时间长短进行升序排列，那么，就算我先搜到了一个到达终点的路径，它也不一定会先输出，而是被排列在时间数据值比较小的未达终点的路径的后面。比如说，在搜索的第三轮，我找到了第一个用时为5抵达终点的路径结果，但此时还有许多用时为3、4但未抵达终点的路径结果，假设数据是这样的，3，3，4，4，5。5不会再拓展了，但前面4个小数，都还会再拓展，如果说某个数拓展到比5小的4结束了，那它会被放在优先队列的前面，一旦4位于优先队列最前列，会直接返回4，而不是像普通队列那样，先返回5。

优先队列中，最前列符合条件的元素是否就是答案？

​ 是的，当符合条件的元素，处于队列最前列的时候，可以直接返回该元素的值。为什么呢？因为在这个元素的后面，要么是大于等于它但是没搜完的元素，这些元素的值只会进一步加大，而不可能比最前面的符合条件的元素小；要么是大于等于它同时也搜完的元素，这些元素，本来就不是最优元素，也没必要输出。比如说，我搜出来5是满足题意的，后面还有6，7，7，8，但是后面可以不用管，直接就返回5。因为后面的值就两种情况，搜完的，没搜完的，都只可能再变大，在本来就没5大的基础上，更不可能比5大，因此5肯定是最优的。因此，当第一个符合条件的元素处于队列最前列的时候，它就是最优值，也就可以直接返回该元素的值。

怎么区分要用优先队列BFS，还是常规BFS？

​ 本质上来说，用优先队列BFS肯定也能做常规BFS能做的题目。例如，还是迷宫问题。每移动一步的用时都是1，我们用优先队列还是可以完成的。我们用时间升序的优先队列，答案还是一样的。**因为此时加入队列的数据，也是严格按照升序递增的，**如在第一步用时1，那么传入的就是1，1，1，1，第二步传入的可能就是2，2，2，2，2，2，2，第三步3，3，3，… ，3。

​ 因此，个人想法是，如果你确定是常规BFS能做，那就用常规BFS做，省时间。**但是，如果你不确定常规BFS能不能做，就不要纠结了，那就直接用优先队列BFS。**因为常规BFS能做的优先队列BFS也一定能做，常规BFS不能做的，优先队列BFS也可能能做，优先队列BFS不能做的，那也估计不是往BFS这个思路想了。

如何创建符合题意的优先队列？

​ 优先队列的类型，一般都用结构体类型。结构体的成员列表，应该包含两个量：一是可供状态转移的变量，还要包含记忆目标结果的变量。

​ 例如，在迷宫问题中，可供状态转移的量，就是坐标，因此我们要在结构体中定义横坐标和纵坐标，再者，还要包含记忆目标结果的变量，这里的目标结果是实时时间，因此我们还需要定义一个记录实时时间的成员变量。

代码篇：思出码随

创建优先队列の代码

创建格式如下：

priority_queue<队列元素类型>队列名;

例如，我想要一个整形的队列名为qu的优先队列：

priority_queue<int>qu;

再例如，我想要一个结构体pos（自定义的）类型的名为que的优先队列：

priority_queue<pos>que;

总体来说，创建优先队列，还是比较容易的。

定义优先队列的排列顺序の代码

​ 如果我们新建一个整形的优先队列，priority_queue<int>qu;，在默认情况下，也就是不给它任何规则的情况下，它是降序排列的，也就是“大顶堆”。

​ 如果想让一个整形的优先队列，升序排列，也就是成为一个“小顶堆”，那么我们需要将这句话改成，priority_queue<int,vector<int>,greater<int>>qu;,区别就是在int后面加个vector，再加个greater即可。

​ 但是，我们最常定义的是结构体类型优先队列的顺序priority_queue<pos>que;。结构体类型优先队列的顺序，定义就会稍显复杂一些。因此，我们再给出一个口诀，方便记忆其顺序定义。

struct T{
	int x,y,z;
	friend bool operator <(T t2,T t1){//fbo小于号，右前左后同sort 
		if(t1.z!=t2.z)return t1.z>t2.z;
		if(t1.y!=t2.y)return t1.y>t2.y;
		if(t1.x!=t2.x)return t1.x>t2.x;
	}
}t;

​ 结构体优先队列的顺序定义，直接在定义结构体语句==内部再定义==顺序。在结构体成员变量都定义完了之后，根据口诀fbo小于号，右前左后对着写，后面的顺序定义就和sort函数的结构体排序的操作全部一样的了。

​ 先解释一下什么是fbo小于号，f就是friend，b就是bool，o就是operator，小于号就是<，这必须是一个严格的从左到右的顺序，因此就是fbo小于号。然后就是右前左后，比如在sort函数顺序定义的时候，参数定义是左前右后，就比如bool cmp(int x,int y)然后return x<y，就是代表返回参数括号中左边的变量比右边的变量小，那么就是升序排列，但是在优先队列里面恰恰相反，如果friend bool operator <(int x,int y)然后return x<y，就是代表返回参数括号中右边的变量比左边的变量小，也就是降序排列。

​ 那么我们怎么防止混淆呢？就是通过定义参数时的右前左后，我们可以直接把x放在右边，y放在左边，也就是friend bool operator <int(int y,int x)，return x<y，这样就全部都和sort函数一样了，与sort函数排序顺序定义相同的操作也就不用介绍了。

​ 这个口诀纯属作者自己脑补，方便记忆，如果能确保记住的，可以跳过这个口诀，哈哈。

基础操作の代码

/*优先队列的基础操作：以队列名为q的队列为例*/

/*1.入队*/ 			q.push(XXX);
/*2.出队*/ 			q.pop();
/*3.求队列中元素个数*/  q.size();
/*4.判断度列是否为空*/  q.empty();若为空返回true，否则返回false
/*5.返回q的第一个元素*/ q.top();//唯一的不同，在普通队列中是q.front();
/*6.返回q最后一个元素*/ q.back();

题目篇：相关典例

拯救丁爸——典型优先队列BFS迷宫问题

​ 本题由于警卫的存在，导致队列输入的数据非线性，普通BFS无法正确解题。因此，我们要用基于优先队列的BFS。题目要求最短时间，那么我们优先队列队首应该排列最短时间元素，因此我们将优先队列以时间为排列条件进行升序排列。这道题的队列类型怎么定义?正如刚才所说的，既要包括可供状态转移的量，也要包括记忆目标结果的量。前者就是坐标，后者则是时间，因此我们定义结构体变量，成员变量包含横坐标变量，纵坐标变量用以状态转移，时间则记录目标结果的量。

​ 这道题还有一个小技巧，那就是拯救丁爸的人可能有很多，但是丁爸只有一个，然而BFS最适合解决的是1到1或者1到多的模型，为了充分发挥BFS的优势，我们可以将思维逆转一下，改成丁爸去救任意一个人。结合上述代码篇的代码，创建优先队列并定义其顺序，接下来其它的步骤和迷宫题的BFS完全一致。AC代码如下

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int dir[4][2]={{1,0},{-1,0},{0,-1},{0,1}};
int vis[205][205],n,m,sx,sy;
char a[205][205];
struct pos{
    int x,y,cnt;
    /*定义结构体内部再定义优先队列排序规则*/
    friend bool operator <(pos t2,pos t1){//fbo小于号，右前左后同sort
        return t1.cnt<t2.cnt;//按照时间升序排列
    }
};
bool check(int x,int y){//检查是否没越界，是否不是墙，是否没访问过
    if(x>=1&&x<=n&&y>=1&&y<=m&&a[x][y]!='#'&&vis[x][y]==0)return true;
    return false;
}
int bfs(int st,int ed){
    memset(vis,0,sizeof(vis));//初首化访问数组为0
    priority_queue<pos> q;//创建结构体pos类型的优先队列q
    q.push({st,ed,0});//插入首元素，起点坐标及起点的时间状态
    vis[st][ed]=1;//表示首位置已经访问过
    while(!q.empty()){//队列非空
        pos cur=q.top();//将队列首元素存于cur变量中
        q.pop();//首元素出列
        if(a[cur.x][cur.y]=='r'){//如果是目标
            return cur.cnt;//直接返回当前的时间值，可以这样操作的原因已在思想篇解释过
        }
        for(int i=0;i<4;i++){//没找到就拓展：搜索下一步所有可能的状态
            pos nex={cur.x+dir[i][0],cur.y+dir[i][1],cur.cnt+1};//传入下一状态于nex变量
            if(check(nex.x,nex.y)){//如果通过检查
                if(a[nex.x][nex.y]=='x')nex.cnt+=1;//再看看是不是警卫点，如果是，时间再加1
                q.push(nex);//加入下一个元素
                vis[nex.x][nex.y]=1;//标记下一个元素的访问数组
            }
        }
    }
    return -1;//没有找到，返回-1
}
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    while(cin>>n>>m){
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=m;j++){
                cin>>a[i][j];
                if(a[i][j]=='a')sx=i,sy=j;//记录起点横纵坐标，以丁爸为起点
            }
        if(bfs(sx,sy)!=-1)cout<<bfs(sx,sy)<<endl;//如果搜索结果不是-1，输出结果
        else cout<<"Poor Dingba has to stay in the prison all his life."<<endl;
        //否则输出题目要求的失败语句
    }
    return 0;
}

参考

《2021杭电ACM-LCY算法培训入门班第12节课》