配对堆Pairing Heap

前言

最近做一道Dijkstra的题目，因为边数实在太大了（$10^9$），用STL的priority_queue直接超时（事实上还会MLE）。有同学写配对堆的。刚好很久没学习新的数据结构了，就趁着这个机会补一补。

配对堆

配对堆 Pairing Heap 是一种实现简单、均摊复杂度优越的堆数据结构，由Michael Fredman、罗伯特·塞奇威克、Daniel Sleator、罗伯特·塔扬 于1986年发明。 配对堆是一种多叉树，并且可以被认为是一种简化的斐波那契堆。
（以上内容来自wikipedia）

怎么说呢？
首先，配对堆是一种可并堆，也支持与其他可并堆类似的操作，但是实现和原理较为简单（至少是相对与FIB堆）。

支持操作

配对堆主要支持以下操作：

• find-min（查找最小值）：返回堆顶。
• merge（合并）：比较两个堆顶，将堆顶较大的堆设为另一个的孩子。
• insert（插入）：创建一个只有一个元素的堆，并合并至原堆中。
• decrease-key（减小元素）（可选）：将以该节点为根的子树移除，减小其权值，并合并回去。
• delete-min（删除最小值）：删除根并将其子树合并至一起。这里有各种不同的方式。

接下来我们一个一个详细地讲解这些操作。

说明

• 我们讲解时用小根堆作为例子（但示例图为大根堆，见谅）
• 对于每个节点$i$，我们用$Son_i$表示它的儿子节点的集合，$Fa_i$表示它的父亲节点。
• 一个堆的根我们设为$root$

1 FIND-MIN

简单地返回该堆堆顶即可。

2 MERGE

首先合并空堆将返回另一个堆，否则我们返回新堆的根。
假设我们要把$Heap1$和$Heap2$这两个堆合并起来。
那么我们需要比较一下$root_{Heap1}$和$root_{Heap2}$的权值，不妨设$root_{Heap1}$的权值大于