乘法/积运算和符号（点乘/内积/数量积，叉乘/向量积，矩阵乘法，Hadamard, Kronecker积，卷积）一网打尽

### 矩阵的点乘、乘法和点积的区别 #### 定义与区别 矩阵的 **点乘** 是指两个相同维度的矩阵对应位置上的元素相乘，得到的结果是一个同样维度的新矩阵。这种操作通常被称为逐元素乘法 (Element-wise Multiplication)[^2]。 而矩阵的 **乘法** 则是指按照线性代数规则进行的标准矩阵乘法。如果矩阵 \( A \) 的大小为 \( m \times n \)，矩阵 \( B \) 的大小为 \( n \times p \)，那么它们的乘积 \( C = AB \) 将会是一个 \( m \times p \) 大小的矩阵。具体计算方式如下： \[ C[i][j] = \sum_{k=0}^{n-1}{A[i][k] * B[k][j]} \] 这是最常见的矩阵运算之一，在计算机图形学中常用于坐标变换等场景[^1]。 至于 **点积**，严格来说它是向量之间的运算而非矩阵间的运算。对于两个长度相同的向量 \( u \) 和 \( v \)，其点积定义为： \[ u \cdot v = |u|*|v|*\cos(\theta) \] 其中 \( \theta \) 表示两向量之间的夹角。然而有时人们也会提到矩阵行或列之间作为向量参与点积的情况，这实际上是对标准矩阵乘法规则的一种特殊解释[^3]。 #### 使用场景 - **点乘** 主要应用于图像处理领域中的像素级操作或者机器学习框架里的某些特定层实现上，比如卷积神经网络(CNNs)的部分激活函数应用前后的调整过程可能涉及此方法。 - **矩阵乘法** 广泛存在于科学计算、工程建模以及游戏开发等领域内的各种复杂模拟当中。特别是在三维渲染管线里用来完成物体的空间位移、旋转和平面投影等功能。 - **点积** 更多时候是用来衡量空间内任意两点方向关系的一个数值指标；另外在推荐系统构建过程中也经常通过比较不同用户偏好特征间相似度来决定最终展示列表顺序等问题解决思路之中有所体现。 ```python import numpy as np # Example of element-wise multiplication (dot product between matrices) matrix_a = np.array([[1, 2], [3, 4]]) matrix_b = np.array([[5, 6], [7, 8]]) element_wise_product = matrix_a * matrix_b print("Element-Wise Product:\n", element_wise_product) # Standard matrix multiplication example standard_matrix_multiplication_result = np.dot(matrix_a, matrix_b.T) print("Standard Matrix Multiplication Result:\n", standard_matrix_multiplication_result) # Dot product example with vectors vector_u = np.array([1, 2]) vector_v = np.array([3, 4]) dot_product_of_vectors = np.dot(vector_u, vector_v) print("Dot Product Of Vectors:", dot_product_of_vectors) ```