ACM算法-时间复杂度分析(6.相关练习exercise)

### ACM竞赛中常见算法的时间复杂度总结 #### 1. 排序算法时间复杂度 在ACM竞赛中，排序是一个常见的操作。以下是几种常用的排序算法及其时间复杂度： - **插入排序** - 最好时间复杂度：$O(n)$ (当输入数组已经有序时)[^2]。 - 最坏时间复杂度：$O(n^2)$ (当输入数组完全逆序时)。 - **合并排序** - 最好时间复杂度：$O(n \log n)$。 - 最坏时间复杂度：$O(n \log n)$。 - **堆排序** - 最好时间复杂度：$O(n \log n)$。 - 最坏时间复杂度：$O(n \log n)$。 - **快速排序** - 最好时间复杂度：$O(n^2)$ (极端情况下，每次划分都极不平衡)[^2]。 - 最坏时间复杂度：$O(n \log n)$ (通常情况下)。 #### 2. 图论算法时间复杂度 图论问题是ACM竞赛中的重要部分，涉及多种经典算法。以下是一些常用图论算法的时间复杂度： - **Dijkstra算法** - 如果采用朴素实现，在稠密图上的时间复杂度为 $O(n^2)$[^3]。 - 使用优先队列优化后，在稀疏图上的时间复杂度为 $O(m \log n)$，其中 $m$ 是边的数量，$n$ 是顶点数量。 - **SPFA算法** - 平均时间复杂度为 $O(km)$，其中 $k$ 是一个小于等于 2 的常数。 - SPFA适用于处理带负权边的情况，但在网格图或非常稠密的图上表现较差。 #### 3. 动态规划与递归算法时间复杂度 动态规划和递归也是ACM竞赛的核心内容之一。它们的时间复杂度取决于状态转移方程的设计和问题规模。 - **斐波那契数列计算** - 迭代方法的时间复杂度为 $O(n)$[^5]。 - 矩阵快速幂方法可以将时间复杂度降低至 $O(\log n)$。 - **背包问题** - 对于0/1背包问题，如果物品数量为$n$，容量为$c$，则其时间复杂度为 $O(nc)$。 #### 4. 其他基础算法时间复杂度 除了上述类别外，还有一些基本算法也经常用于ACM竞赛中： - **二分查找** - 时间复杂度为 $O(\log n)$，前提是数据结构支持随机访问且已排序。 - **暴力枚举** - 枚举所有可能解的空间大小决定了时间复杂度。例如对于长度为$n$的序列全排列，时间复杂度为 $O(n!)$。 ```python def factorial_recursive(n): if n == 0 or n == 1: return 1 else: return n * factorial_recursive(n - 1) print(factorial_recursive(5)) # 输出120 ``` 以上代码展示了通过递归方式求解阶乘函数的一个例子，该过程具有指数级增长特性即 $O(n!)$。 ---