循环矩阵的傅里叶对角化

Cc0​Ic1​Pc2​P2⋯cn−1​Pn−1我们有一个循环矩阵C，n行n列，因为矩阵C的特殊性，其斜线上的元素相等，所以可得：C​c0​cn−1​⋮c1​​c1​c0​⋱c2​​c2​c1​⋱c3​​⋯⋯⋱⋯​cn−1​cn−2​⋮c0​​​;​​。

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循环矩阵与向量乘积的离散傅立叶变换 证明过程非常有意思写下来给大家看一下 证明： FAB=(FA(:,1))⊙(FB) FAB=(FA(:,1))\odot(FB) FAB=(FA(:,1))⊙(FB) 其中AAA为循环矩阵，F为DFT矩阵，A(:,1)A(:,1)A(:,1)是AAA的第一列，⊙\odot⊙是Hadamard积，就是把位置相同的元素乘在一起，这论文中的符号和很多论文中的不一样就很烦，这里因为(FA(:,1))(FA(:,1))(FA(:,1))和(FB)都是列向量，因此为了容易理解我们将其

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KCF简介 KCF是一种鉴别式追踪方法，这类方法一般都是在追踪过程中训练一个目标检测器，使用目标检测器去检测下一帧预测位置是否是目标，然后再使用新检测结果去更新训练集进而更新目标检测器。而在训练目标检测器时一般选取目标区域为正样本，目标的周围区域为负样本，当然越靠近目标的区域为正样本的可能性越大。 简单来说 KCF 是 核相关滤波算法，滤波器 和 跟踪patch 进行相乘的到相关性，对应位置较...

最近在看joao F. Henriques在15年paimi上的KCF&DCF跟踪论文，其用到了循环矩阵来生产密集采样样本，并且用循环矩阵与傅里叶变换的关系来简化计算，即在频域用循环矩阵的基向量就可以表述循环矩阵。现对文章中循环矩阵与傅里叶相关的两个重要公式进行推导和证明。

原文 kcf是一种Tracking By Detection的跟踪方法，跟ＴＬＤ，OAB同宗,以 跟踪对象为正样本，以周围坏境为负样本，训练一个判别分类器．paper的实验结果显示，kcF（Kernelized Correlation Filter）准确率比Struck和TLD都高(paper中提到With HOG features, both the linear DCF　and non-li

循环矩阵充分利用循环矩阵及其特性的是核相关滤波跟踪算法的另一个重要特征，它不仅涉及到目标采样，而且巧妙的将目标特征的频域空间与岭回归相结合，实现了目标特征的快速学习与检测。首先考虑一维样本的情况，设x=[x0,x1,x2,⋯,xN−1]{\bf{x}} = [{x_0},{x_1},{x_2}, \cdots ,{x_{N - 1}}]表示一行图像像素样本，x{\bf{x}}的循环矩阵表示为： X

循环矩阵是一种特殊的方阵，它的每一行都是前一行向右循环移位一个位置的结果。如果矩阵CCC是n×nn \times nn×n的循环矩阵，那么它可以由第一行的nnn个元素完全确定。假设c0c1cn−1c0​c1​...cn−1​是矩阵CCCCc0cn−1c2c1c1c0cn−1c2⋮c1c0⋱⋮cn−2⋱⋱cn−1cn−1cn−2c1c0C​。

论文笔记：《A Novel OTFS System Based on DFrFT-OFDM》

为什么引入循环矩阵？ 很多文章里解释引入循环矩阵是为了利用循环矩阵的特性达到密集采样（dense sampling）和转到频域提高运算效率的目的，但循环矩阵具体是如何达到这一目的我姑且写一下我的理解。 我们回忆一下MOSSE算法里求相关性的操作是通过在怀疑区域里滑动卷积得到的，如果是要求密集采样（而不是随机采样）的话，要求卷积模板在这一区域从第一个像素滑动到最后一个像素，在这一区域产生大量候选窗，...

参考博文：首先温习一下最小二乘法.在矩阵形式下，最小二乘法的解w=(XTX)−1XTYw = (X^TX)^{-1}X^TYw=(XTX)−1XTY，XXX是一个m×nm×nm×n的矩阵，其中每一行代表样本，列代表样本的某一个属性。为了求得www，则必须要求矩阵(XTX)(X^TX)(XTX)满秩（满秩是可逆的充要条件）。然而在解决现实问题时，当XXX中的某些属性相关性较大时，XXX不一定满秩（线性相关⇔\Leftrightarrow⇔行列式为0⇔\Leftrightarrow⇔矩阵不满秩）。除此之外，当n