理解概率密度函数_概率密度函数单位是什么-CSDN博客

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概率密度函数

1. 基本概念

在概率论中，概率密度函数 (PDF——probability density function)(又称密度函数(density function)或绝对连续随机变量的密度(density))是这样一个函数，即其在样本空间(sample space)(随机变量所取的可能值之集合)中任何已知样本(或点)的值都可以解释为：提供了一种随机变量值等于该样本的相对可能性(relative likelihood)，用于刻画连续随机变量的分布。概率密度是每单位长度的概率，换言之，连续随机变量取任何特定值的绝对可能性为 0(因为一开始就有无限个可能值)，两个不同样本的 PDF 值可用于推断：在任何特定的随机变量抽取中，随机变量接近一个样本的可能性比接近另一个样本的可能性大多少。

更准确地说，概率密度函数 (PDF) 用于指定随机变量落入特定值域的概率，而不是取任意一个值。该概率由该变量的概率密度函数在该域上的积分给出，也就是说，它由密度函数下方、横轴上方、该域最小值与最大值之间的面积给出。概率密度函数处处非负，且整条曲线下的面积等于 1。

概率分布函数(probability distribution function)和概率函数(probability function)这两个术语有时也用于表示概率密度函数。然而，这种用法在概率学家和统计学家之间并不规范。在其他资料中，“概率分布函数”可能指概率分布被定义为一般值集上的函数，也可能指累积分布函数，或者指概率质量函数(PMF—probability mass function)而非密度函数。“密度函数”本身也用于概率质量函数，这会导致进一步的混淆。但一般来说，PMF 用于离散随机变量(取值于可数集的随机变量)，而 PDF 用于连续随机变量。

2. 说明

指定随机变量的概率分布主要有两种方法：

(1) 为变量可能取的每一个值分配一个概率；

(2) 为变量可能取值的区间分配概率。

当变量的可能值集合可数(变量为离散变量)时，使用方法 (1)。当集合不可数(变量为连续变量)且方法 (1) 无法使用时，使用方法 (2)。方法 (2) 涉及概率密度函数。

3. 连续随机变量的问题

当可能值集合不可数时，上述方法(1)无法使用。这种不可能性源于许多基本的数学原因。例如：不可数集合的元素无法排列成序列；如果我们尝试为变量的每一个可能值分配概率，我们将无序可循；即使我们设法将概率分配给单个值，我们也无法检查它们的和是否等于 1 ；事实上，没有办法对不可数集合中的所有数求和。为了规避这种不可能性，数学家们发明了一种依赖于概率密度函数和积分的“技巧”。