[原创](计算机数学)(The Probability Lifesaver)(P13): 指数母函数(Fonction Génératrice Exponentielle)生成伯努利数?

[作者]
常用网名: 猪头三
出生日期: 1981.XX.XX
企鹅交流: 643439947
个人网站: 80x86汇编小站
编程生涯: 2001年~至今[共24年]
职业生涯: 22年
开发语言: C/C++、80x86ASM、Object Pascal、Objective-C、C#、R、Python、PHP、Perl、
开发工具: Visual Studio、Delphi、XCode、C++ Builder、Eclipse
技能种类: 逆向 驱动 磁盘 文件 大数据分析
涉及领域: Windows应用软件安全/Windows系统内核安全/Windows系统磁盘数据安全/macOS应用软件安全
项目经历: 股票模型量化/磁盘性能优化/文件系统数据恢复/文件信息采集/敏感文件监测跟踪/网络安全检测
专注研究: 机器学习、股票模型量化、金融分析

[序言]
在计算机数学与概率论的学习中, 伯努利数(Bernoulli numbers)扮演着重要角色. 它们不仅与级数求和、无穷级数展开紧密相关, 也是数值积分、差分方法以及离散傅里叶变换等领域的基础工具之一. 对于希望深入了解数值分析和组合数学的读者而言, 掌握伯努利数的生成方法具有十分重要的意义.

[描述]
根据伯努利数的生成函数:指数母函数(Fonction Génératrice Exponentielle), 如果假设 n=1 时，如何求出伯努利数B1？

[详细推导]

1. 指数母函数

$$\frac{x}{e^x-1}=\sum _{n=0}^{\infty }{B}_n\frac{x^n}{n!}.$$

我们的目标是读出一次项系数 $B_1$。

2. 分母展开

首先将 $e^x-1$ 在 $x=0$ 处展开：

$$e^x-1=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\cdots =x(1+\frac{x}{2}+\frac{x^2}{6}+\cdots ).$$

因此

$$\frac{x}{e^x-1}=\frac{1}{1+\frac{x}{2}+\frac{x^2}{6}+\cdots }=(1+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots {)}^{-1},$$

其中 a 1 = 1 2 a_1 = \tfrac12