多视图几何入门基础--相机模型与投影变换

最新推荐文章于 2025-03-26 21:44:28 发布

半子yuan

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分类专栏：多视图几何文章标签：笔记

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本文深入探讨了齐次坐标、坐标变换、相机模型、单应矩阵与常见投影变换等核心概念，详细解析了等距变换、相似变换、仿射变换及射影变换，并介绍了针孔相机模型、透视相机模型以及双视图几何中的对极几何和基础矩阵。

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摘要： 本文来自章国峰_相机模型与投影变换ppt总结，补充了自己的对于多视图几何的一些理解，图来自ppt。

一、齐次坐标和坐标变换（等距变换；相似变换；仿射变换；射影变换）

1. 齐次坐标：

在原有的坐标上面增加一个维度，新增维度不增加自由度，通常为1
以下对应2维和3维
$\begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix}$ 变为 $\begin{bmatrix}x \\ y \\1 \end{bmatrix}$ ， $\begin{bmatrix}x \\ y \\z \end{bmatrix}$ 变为 $\begin{bmatrix}x \\ y \\z \\1 \end{bmatrix}$

A. 齐次坐标可以更好的表示平移和放缩，旋转和平移
使用齐次坐标完成平移和放缩
$\begin{bmatrix}{u}' \\{v}' \\1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}s_{u} &0 &s_{u}t_{u} \\0 &s_{v} &s_{v}t_{v} \\0 &0 &1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}u \\v \\1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}s_{u} &0 &0 \\0 &s_{v} &0 \\0 &0 &1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 &0 &t_{u} \\0 &1 &t_{v} \\0 &0 &1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}u \\v \\1 \end{bmatrix}= STx$
使用齐次坐标完成旋转和放缩
$\begin{bmatrix}{u}' \\{v}' \\1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}cos(\theta) &-sin(\theta) &t_{u} \\sin(\theta) &cos(\theta) &t_{v} \\0 &0 &1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}u \\v \\1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}1 &0 &t_{u} \\0 &1 &t_{v} \\0 &0 &1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}cos(\theta) &-sin(\theta) &0 \\sin(\theta) &cos(\theta) &0 \\0 &0 &1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}u \\v \\1 \end{bmatrix}= TRx$

B. 并且可以用齐次坐标更容易表示点，线，面的关系。可以用两个齐次坐标的点的叉积描述一条直线，两条线的叉积定义一个点（交点）
$\times q$
两点叉积表示线段
$\times q$
在这里插入图片描述
C(补充). 引入齐次坐标后，可以很好的表示以下两种概念（2D下表示）：

理想点： $\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}&0 \end{bmatrix}$ 表示理想点，或者无穷远点。通过引入理想点，我们可以表示两平行直线的交点。
无穷远线：上述理想点的集合，即为无穷远线，用矢量 $l=\begin{bmatrix}0 &0&1 \end{bmatrix}^{T}$ 表示

D. 向量叉积的矩阵表示
$v\times x$ 表示向量的叉积，与下面这种矩阵乘法等价，所以我们可以用矩阵的线性乘法来表示叉积
$v\times x=[v]_{\times}x$
其中 $[v]_{\times}= \begin{bmatrix}0 &-v_{z} &v_{z} \\v_{z}&0&-v_{x} \\-v_{y}&v_{x}&0\end{bmatrix}$ ,其是秩为2的 $3\times3$ 的斜对称矩阵。

2. 几种变换（2D下描述）

A. 等距变换：2D变换有三个自由度，是保距离的
$\begin{bmatrix}{u}' \\{v}' \\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}R&t \\0&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} u\\v\\1\end{bmatrix}$
B. 相似变换：2D情况具有四个自由度，保角度（等距变换上，多了放缩因子s）
$\begin{bmatrix}{u}' \\{v}' \\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}sR&t \\0&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} u\\v\\1\end{bmatrix}$
C. 仿射变换：六自由度，保平行
$\begin{bmatrix}{u}' \\{v}' \\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A&t \\0&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} u\\v\\1\end{bmatrix}$
$A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12} \\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}=R(\theta)R(-\phi)SR(\phi)$ $S=\begin{bmatrix}s_{x}&0 \\0&s_{y}\end{bmatrix}$
D. 射影变换：八自由度，保同线性
$\begin{bmatrix}{u}' \\{v}' \\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A&t \\v&b\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} u\\v\\1\end{bmatrix}$ $H=\begin{bmatrix}A&t \\v&b\end{bmatrix}$

求解射影变换(下面有八个未知数，需要四组点来求解)：
$H=\begin{bmatrix}A&t \\v&b\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}h_{1}&h_{2}&h_{3} \\h_{4}&h_{5}&h_{6} \\h_{7}&h_{8}&h_{9}\end{bmatrix}$ ${x}'=Hx$

展开上述关于u_{2}和 $v_{2}$ 的等式：
$h_{1}u_{1}+h_{2}u_{2}+h_{3}-h_{7}u_{1}u_{2}-h_{8}v_{1}u_{2}-h_{9}u_{2}=0$
$h_{4}u_{1}+h_{5}u_{2}+h_{6}-h_{7}u_{1}v_{2}-h_{8}v_{1}v_{2}-h_{9}v_{2}=0$

改写为：
$A_{i}=\begin{pmatrix}u_{1}&v_{1}&1&0&0&0&-u_{1}u_{2}&-v_{1}u_{2}&-u_{2} \\0&0&0&u_{2}&v_{2}&1&u_{1}v_{2}&-v_{1}v_{2}&-v_{2}\end{pmatrix}$
$h^{*}=\begin{pmatrix}h_{1}&h_{2}&h_{3}&h_{4}&h_{5}&h_{6}&h_{7}&h_{8}&h_{9}\end{pmatrix}$

改写为： $A_{i}h=0$

总结：
在这里插入图片描述

二、相机模型

1. 针孔相机模型（如下图）

在这里插入图片描述
世界坐标系中的点到针孔相机像平面变换为
$\begin{pmatrix}fX\\fY\\Z\end{pmatrix}=\begin{bmatrix}f\\&f\\&&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&&&0\\&1&&0\\&&1&0\end{bmatrix}\begin{pmatrix}X\\Y\\Z\\1\end{pmatrix}$
$K$ $[R ∣ t]$
$K$ 为相机内参矩阵； $[R ∣ t]$ 为旋转位移矩阵

由于装调等误差，存在主点的偏移:
$\begin{pmatrix}fX/Z+x_{0}\\fY/Z+x_{0}\\1\end{pmatrix}$ ~ $\begin{pmatrix}fX+Zx_{0}\\fY+Zx_{0}\\Z\end{pmatrix}=\begin{bmatrix}f&&x_{0}&0\\&f&y_{0}&0\\&&1&0\end{bmatrix}\begin{pmatrix}X\\Y\\Z\\1\end{pmatrix}$

透视相机模型,其内参矩阵增加了一个扭曲因子s：
$K=\begin{bmatrix}f&s&x_{0}\\&f&y_{0}\\&&1\end{bmatrix}$

径向畸变：设畸变量为 $R (x, y)$ ，则 $R(x,y)=(1+k_{1}r^{2}+k_{2}r^{4}+...)$

2. 相机外参（旋转和平移）

在这里插入图片描述
相机坐标和世界坐标的转换关系为 $\left\{\begin{matrix}X_{c}=RX_{w}+t \\X_{w}=R^{'}X_{c}+t^{'} \end{matrix}\right.$ ，其中 $\left\{\begin{matrix}R^{'}=R^{-1} \\t^{'}=-R^{-1}t \end{matrix}\right.$ 。

三、单应矩阵与常见投影变换

1. 单应矩阵

在这里插入图片描述
这里描述了一副图像，经过纯旋转后得到的图像，其中共有的点可以用以上矩阵关系描述，这个矩阵称为单应矩阵，H可以表示为 $H=K_{2}RK_{1}^{-1}$ 。使用点来表示H形成的对应关系，可以是
$c\begin{pmatrix}u_{2} \\v_{2} \\1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}h_{1}&h_{2}&h_{3} \\h_{4}&h_{5}&h_{6} \\h_{7}&h_{8}&h_{9} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}u_{1} \\v_{1} \\1 \end{pmatrix}$
其中 $\begin{pmatrix}u_{2} \\v_{2} \\1 \end{pmatrix}$ 和 $\begin{pmatrix}u_{1} \\v_{1} \\1 \end{pmatrix}$ 分别表示第二幅图和第一幅图中对应点的坐标。

2. 平面投影变换

选择一个世界坐标系，使得平面上的点在该坐标系下Z坐标为0，可以推导投影矩阵
$\begin{pmatrix}x_{1} \\x_{2} \\x_{3} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}p_{11}&p_{12}&p_{13}&p_{14} \\p_{21}&p_{22}&p_{23}&p_{24} \\p_{31}&p_{32}&p_{33}&p_{34} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}X \\Y \\0 \\1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}p_{11}&p_{12}&p_{14} \\p_{21}&p_{22}&p_{24} \\p_{31}&p_{32}&p_{34} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}X \\Y \\1 \end{pmatrix}$
这个矩阵描述了三维平面到图像平面的射影变换：
A.使用透视相机时，最常见的一种从世界坐标系到图像平面的变换
B.两平面的映射用该3*3的矩阵表示
C.射影变换通常也称为“单应性映射”
D.H有八个自由度