【算法】【ACM】深入理解Dijkstra算法（单源最短路径算法）

Dijkstra算法是用来求解从某个源点到其他各顶点的最短路径（单源最短路径）。

下面的Dijkstra算法的讲解都是基于这个有向图，在遇到其他问题可以类比。

算法的基本思想：

把图中的定点分成两组，第一组包括已确定最短路径的顶点，初始时只含有一个源点，记为集合S；第二组包括尚未确定的最短路径的顶点，记为V-S；按最短路径长度递增的顺序逐个把V-S中的顶点加到S中去，直至从v0出发可以到达的所有顶点都包括在S中。

【讲到这里要打断一下：我最初就是不能理解这个“按最短路径长度的递增顺序”（1）这个顺序到底是什么顺序？（2）哪个点到哪个点的最短路径长度？（3）如果是那个已经确定的源点到其他点的最短路径，但是源点并不是到每个点都有路径，在开始给邻接矩阵复制的时候，有的位置是INF，那这个怎么比较？？？？当时心里有无数个问号，找了很多博客，大家都没有详细说明（内心：这个这么好理解？我这么弱？）下面就会一一解答上面的问号。】

接着上面，在这个过程中，总保持v0到第一组S中各顶点的最短路径都不大（小于等于）与v0到第二组V-S的任何顶点的最短路径长度，第二组的顶点对应距离值是从v0到此顶点的只包括第一组S的顶点中为中间顶点的最短路径长度。对于S中任意一点 j，v0到j的路径长度皆小于v0到V-S中任意一点的路径长度。（这也与上面用红色标注的按照最短路径长度的递增顺序）

该表格表示：A到其余各点的最短路径

看到这里：上述所说的按照对端路径长度的递增顺序逐个把V-S中的顶点加到S中去，但是在拿到一个有向图时，我们怎么可能一眼看出路径长度是多少？需要代码求解。

为了实现该串代码，与要设置需要设置距离向量d[ ]（即：源点到该点的最短路径），以及保存路径的向量p[]（即：它的前一个点是谁（官方：最短路径上第i个顶点的前驱顶点序号））。

算法的具体步骤可描述如下：

（1）初始化：包括对第一组（集合S：目前集合S只有{v0}）的初始化与对距离向量d的初始化（用邻接矩阵中相应的值进行赋值）。

（2）从第二组V-S的顶点中选取一个距离值最小的顶点v加入S，。接着对V-S中的所有顶点值进行修改，修改的方法是，对于V-S中的任意一个顶点k，若图中有边<v,k>，且v0到v的距离加上<v，k>边上的权值之和小于v0到k的距离值，则用“v0到v的距离加上<v，k>边上的权值代替顶点k原来的距离值”，（v作为中间点）；反之，则顶点k的距离值保持不变。

。

【我的理解：就是一开始d[k]中肯定就和邻接矩阵中的值一样，有数字，也有INF(即不存在到该点的路径，但是随着S集合中不断加入顶点（按照最短路径的长度递增顺序），源点通过加入的这些顶点就可以到达更多的顶点，每加入一个顶点，就要算一下通过这个刚刚加入的中间点，v0到其他点的距离是否有变短，如果有，则修改相应的值，反之，则保持不变。要保证加入到S中的每个点，源点v0到它们的路径长度是最短的。】

（3）若集合V-S已空，则结束算法。若V-S不为空，则返回步骤（2）。

有向网G采用邻接矩阵存储结构

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define  M 20
#define FINITY 50000
typedef struct 
{
	char vexs[M];
	int edges[M][M];
	int n,e;
}Mgraph;

创建网络的邻接矩阵算法

void creat(Mgraph *g,int c)
{