点集

最新推荐文章于 2025-01-02 17:38:44 发布

东风吹柳

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分类专栏：分析基础文章标签：点集

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点集：习惯上把集合中元素有某种关系、集合内有某种结构的集合，叫做空间或者点集。

【这里的“关系”和集论初步的“关系”一致，而“结构”一般比较抽象，例如“度量”，“距离”就属于集合内的一种结构。】

度量空间（距离空间）：设X是一个集合， $d(x,y):X^{2}\rightarrow R^{*}\cup \left \{0 \right \}$ ，其中 $d(x,y)$ 满足：

(1) $[d(x,y)\geqslant 0]\wedge [d(x,y) = 0\rightarrow x=y]$ ；

(2) $\forall z \in X[d(x,y)\leqslant d(x,z)+d(y,z)]$ .

称 $d(x,y)$ 为x，y之间的度量（或距离），称 $(X,d)$ 为度量空间。

【为什么定义度量？点集的极限、开集、闭集及紧集概念基础都是邻域，而邻域则依据度量作出。】

点 $P_{0}$ 的 $\delta$ 邻域：

$U(P_{0},\delta)=\left \{ P|(d(P,P_{0})<\delta),\delta \in R^{*},P_{0}\in R^{n},\forall P\in R^{n} \right \}$

$U(P_{0},\delta)$ 称为点 $P_{0}$ 的 $\delta$ 邻域， $P_{0}$ 称为邻域的中心， $\delta$ 为半径。

【邻域的性质：

(1) 中心点属于邻域；

(2) 一个点的两个不同半径的邻域的交集仍然是该点的一个邻域；

(3) $\forall Q \in U(P,\delta)\exists U(Q,\delta_{1}),U(P,\delta) [U(Q,\delta_{1})\subset U(P,\delta)]$ ；

(4) $\forall P \neq Q \exists U(P,\delta_{0}),U(Q,\delta_{1})[U(P,\delta_{0})\cap U(Q,\delta_{1}=\varnothing ]$ .

通过几何作图可以轻易得到上诉结论。

】

极限：设 $\left \{ P_{n} \right \}$ 是集合 $R^{n}$ 中的一组点列， $P \in R^{n}$ ，如果满足：

$\forall \delta \in R^{*} \exists N\in R^{*} \forall n> N [P_{n} \in U(P,\delta)]$

称 $\left \{ P_{n} \right \}$ 收敛于 $P$ ，记作 $\lim_{n \rightarrow \infty}P_{n}=P$ .

【意思是说，无论 $P$ 的邻域怎么取，总有 $\left \{ P_{n} \right \}$ 的后续无限多个点属于它。】

内点：设 $E \subset R^{n}$ ， $\exists U(P_{0},\delta)[U(P_{0},\delta) \subset E]$ ，则 $P_{0}$ 是 $E$ 的内点。

聚点：设 $E \subset R^{n}$ ， $\forall U(P_{0},\delta)[U(P_{0},\delta) \cap E -\left \{ P_{0} \right \} \neq \varnothing]$ ，则 $P_{0}$ 是 $E$ 的聚点。

孤立点：设 $E \subset R^{n}$ ， $\exists U(P_{0},\delta)[U(P_{0},\delta) \cap E = \left \{ P_{0} \right \}]$ ，则 $P_{0}$ 是 $E$ 的孤立点。

【全部简化成二维平面的几何思考，定义很明显。

集合A的全体内点构成的集合为A的开核，记作 $\AA$ ；

集合A的全体聚点构成的集合为A的导集，记作 $A^{'}$ ；

集合A的全体边界点构成的集合为A的边界，记作 $\partial A$ ；

$A \cup A^{'}$ 为A的闭包，记作 $\bar{A}$ 。】

开集：设 $E \subset R^{n}$ ，如果E中的每一点都是内点，称E为开集。

【开集的充要条件： $\AA = A$ 】

闭集：设 $E \subset R^{n}$ ，如果E中的每一个聚点都属于E，称E为闭集。

【闭集的充要条件： $E^{'} \subset E$ (或者 $\partial E \subset E$ )】

【开区间是开集，闭区间是闭集】

定理1：开集的补集是闭集，闭集的补集是开集。

【(1 , 2) 的补集为 $(-\infty ,1]\cup[2,+\infty)$ ，是一个闭集；

[1 , 2] 的补集为 $(-\infty ,1)\cup(2,+\infty)$ ，是一个开集；

注： $(-\infty ,+\infty)$ 是开集也是闭集】

定理2：任意多个开集的并集仍是开集，有限多个开集的交集仍是开集；

任意多个闭集的交集仍是闭集，有限多个闭集集的并集仍是闭集。

有限覆盖定理：设F是一个有界闭集， $\mu$ 是一簇开集 $\left \{ U_{i} \right \}_{i\in \Lambda }$ ，它覆盖了F，则 $\mu$ 中一定存在有限多个开集 $U_{1}$ ， $U_{2}$ ，...， $U_{m}$ ，它们同样覆盖F。

【覆盖的含义： $F \subset \bigcup_{i \in \Lambda} U_{i}$ 】

紧集：设M是度量空间(X,d)中一集合， $\mu$ 是X中一簇覆盖了M的开集，如果可从 $\mu$ 中选出有限多个开集仍然覆盖M，则称M是X中的紧集。

定理：在 $R^{n}$ 中，有界闭集 $\leftrightarrow$ 紧集。

【在一般度量空间中，只有“紧集 $\rightarrow$ 有界闭集”】

完备集：设 $E \subset R^{n}$ ，如果 $E=E^{'}$ ，则称E为完备集和完全集。

【完备集是自密闭集，即就是没有孤立点的闭集；

自密集是没有孤立点的集（等价于设 $E \subset R^{n}$ ，如果 $E^{'} \subset E$ ）】