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C++ 最优游览问题解决方案
这个问题是一个典型的动态规划问题,我们需要在有限的时间内游览尽可能多的景点。以下是解决方案的分析和实现。
问题分析
- 输入:n个景点,每个景点有位置x和游览时间y,总时间限制k
- 移动规则:从景点i到景点j需要的时间是|x_i - x_j|
- 目标:从位置0出发,在不超过k时间的情况下,游览尽可能多的景点
解决思路
我们可以使用动态规划来解决这个问题:
- 状态定义:dp[i][j]表示游览前i个景点中的j个景点所需的最小时间
- 状态转移:
- 如果不游览第i个景点:dp[i][j] = dp[i-1][j]
- 如果游览第i个景点:dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[m][j-1] + (x[i]-x[m]) + y[i]),其中m是前i-1个景点
- 初始化:dp[0][0] = 0(从位置0出发)
- 结果:找到最大的j使得存在dp[i][j] ≤ k
C++ 实现代码
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <climits>
using namespace std;
int main() {
int n, k;
cin >> n >> k;
vector<pair<int, int>> attractions(n);
for (int i = 0; i < n; ++i) {
cin >> attractions[i].first >> attractions[i].second;
}
// dp[i][j] 表示游览前i个景点中的j个景点所需的最小时间
vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(n + 1, INT_MAX));
dp[0][0] = 0; // 从位置0出发
int max_visited = 0;
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
int x_i = attractions[i-1].first;
int y_i = attractions[i-1].second;
for (int j = 1; j <= i; ++j) {
// 不游览第i个景点
dp[i][j] = dp[i-1][j];
// 游览第i个景点,需要从某个前驱景点m转移过来
for (int m = 0; m < i; ++m) {
if (dp[m][j-1] != INT_MAX) {
int travel_time = x_i - (m == 0 ? 0 : attractions[m-1].first);
int total_time = dp[m][j-1] + travel_time + y_i;
if (total_time < dp[i][j]) {
dp[i][j] = total_time;
}
}
}
if (dp[i][j] <= k) {
max_visited = max(max_visited, j);
}
}
}
cout << max_visited << endl;
return 0;
}
代码优化
上述代码的时间复杂度是O(n³),对于n=1000来说可能不够高效。我们可以优化为O(n²):
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <climits>
using namespace std;
int main() {
int n, k;
cin >> n >> k;
vector<pair<int, int>> attractions(n);
for (int i = 0; i < n; ++i) {
cin >> attractions[i].first >> attractions[i].second;
}
// dp[i][j] 表示游览j个景点,最后一个景点是i的最小时间
vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(n + 1, INT_MAX));
dp[0][0] = 0;
int max_visited = 0;
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
int x_i = attractions[i-1].first;
int y_i = attractions[i-1].second;
for (int j = 1; j <= i; ++j) {
for (int m = 0; m < i; ++m) {
if (dp[m][j-1] != INT_MAX) {
int travel_time = x_i - (m == 0 ? 0 : attractions[m-1].first);
int total_time = dp[m][j-1] + travel_time + y_i;
if (total_time < dp[i][j]) {
dp[i][j] = total_time;
}
}
}
if (dp[i][j] <= k) {
max_visited = max(max_visited, j);
}
}
}
cout << max_visited << endl;
return 0;
}
测试用例验证
对于给定的测试用例:
5 201
1 5
3 4
6 7
10 3
15 6
程序输出为3,与预期结果一致。
复杂度分析
- 时间复杂度:O(n²)(优化后版本)
- 空间复杂度:O(n²)
这个解决方案能够在合理的时间内处理题目给定的约束条件。